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Soient donc $\operatorname {D} m$ la masse d’une particule ou élément quelconque du fluide ; $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ les forces accélératrices qui agissent sur cet élément, réduites, pour plus de simplicité, aux directions des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ et tendantes à diminuer ces coordonnées ;

$\mathrm {L} =0$

l’équation de condition résultante de l’incompressibilité ou de l’invariabilité du volume $\operatorname {D} m\,;$ $\lambda$ une quantité indéterminée, et _S une caractéristique intégrale correspondante à la caractéristique différentielle $\operatorname {D}$ et relative à toute la masse du fluide ; on aura, pour le mouvement du fluide, cette équation générale (Sect. IV)

_S$\left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)\delta x+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)\delta y+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)\delta z\right]\operatorname {D} m+$_S$\lambda \delta \mathrm {L} =0.$

Il faut maintenant substituer dans cette équation les valeurs de $\operatorname {D} m$ et de $\delta \mathrm {L} ,$ et, après avoir fait disparaître les différences des variations, s’il y en a, égaler séparément à zéro les coefficients des variations indéterminées $\delta x,\delta y,$ $\delta z.$

Retenons la caractéristique $\operatorname {D}$ pour représenter les différences relatives à la situation instantanée des particules contiguës, tandis que la caractéristique $d$ se rapportera uniquement au changement de position de la même particule dans l’espace ; il est clair qu’on peut représenter le volume de la particule $\operatorname {D} m$ par le parallélépipède $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z\,;$ ainsi, en nommant $\Delta$ la densité de cette particule, on aura

$\operatorname {D} m=\Delta \operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z.$

De plus, il est visible que la condition de l’incompressibilité sera contenue dans l’équation

$\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z=\mathrm {const} .\,;$

de sorte qu’on aura

$\mathrm {L} =\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z-\mathrm {const} .,$

et par conséquent

$\delta \mathrm {L} =\delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z).$

Pour déterminer cette différentielle, il faut employer les mêmes consi-