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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Il restera ensuite à faire disparaître les intégrales partielles

_S

(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')\operatorname {D} y\operatorname {D} z+

_S

(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')\operatorname {D} x\operatorname {D} z+

_S

(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')\operatorname {D} x\operatorname {D} y,

lesquelles ne se rapportent qu’à la surface extérieure du fluide ; et l’on en conclura, comme dans l’article 18 de la Section VII citée, que la valeur de $\lambda$ devra être nulle pour tous les points de la surface où le fluide est libre ; on prouvera de plus, comme dans l’article 31 de la même Section, que, relativement aux endroits où le fluide sera contenu par des parois fixes, les termes des intégrales précédentes se détruiront mutuellement, en sorte qu’il n’en résultera aucune équation ; et, en général, on démontrera, par un raisonnement semblable à celui des articles 32, 38, 39, que la quantité $\lambda ,$ rapportée à la surface du fluide, $y$ exprimera la pression que le fluide y exerce, et qui, lorsqu’elle n’est pas nulle, doit être contre-balancée par la résistance ou l’action des parois.

3. Les équations qu’on vient de trouver renferment donc les lois générales du mouvement des fluides incompressibles ; mais il y faut joindre encore l’équation même qui résulte de la condition de l’incompressibilité du volume $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z,$ pendant que le fluide se meut : cette équation sera donc représentée par

d(\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)=0,

de sorte qu’en changeant \delta en $d$ dans l’expression \delta(\operatorname Dx\operatorname Dy\operatorname Dz) trouvée ci-dessus, et égalant à zéro, on aura

(B)

{\frac {\operatorname {D} dx}{\operatorname {D} x}}+{\frac {\operatorname {D} dy}{\operatorname {D} y}}+{\frac {\operatorname {D} dz}{\operatorname {D} z}}=0.

Cette équation, combinée avec les trois équations (A) de l’article précédent, servira donc à déterminer les quatre inconnues $x,\,y,\,z$ et $\lambda .$

4. Pour avoir une idée nette de la nature de ces équations, il faut considérer que les variables $x,\,y,\,z$ qui déterminent la position d’une