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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

particule dans un instant quelconque doivent appartenir à la fois à toutes les particules dont la masse fluide est composée ; elles doivent donc être des fonctions du temps $t$ et des valeurs que ces mêmes variables ont eues au commencement du mouvement, ou dans un autre instant donné. Nommant donc $a,\,b,\,c$ les valeurs de $x,\,y,\,z$ lorsque $t$ égale zéro, il faudra que les valeurs complètes de $x,\,y,\,z$ soient des fonctions de $a,\,b,\,c,\,t.$ De cette manière, les différences marquées par la caractéristique $\operatorname {D}$ se rapporteront uniquement à la variabilité de $a,\,b,\,c\,;$ et les différences marquées par l’autre caractéristique $d$ se rapporteront simplement à la variabilité de $t.$ Mais comme, dans les équations trouvées, il y a des différences relatives aux variables mêmes $x,\,y,\,z,$ il faudra réduire celles-ci aux différences relatives à $a,\,b,\,c,$ ce qui est toujours possible ; car on n’a qu’à concevoir qu’on ait substitué dans les fonctions, avant la différentiation, les valeurs mêmes de $x,\,y,\,z$ en $a,\,b,\,c.$

5. En regardant donc les variables $x,\,y,\,z$ comme des fonctions de $a,\,b,\,c,\,t,$ et représentant les différentielles selon la notation ordinaire des différences partielles, on aura

${\begin{aligned}\operatorname {D} x=&{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc,\\\operatorname {D} y=&{\frac {\partial y}{\partial a}}da+{\frac {\partial y}{\partial b}}db+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc,\\\operatorname {D} z=&{\frac {\partial z}{\partial a}}da+{\frac {\partial z}{\partial b}}db+{\frac {\partial z}{\partial c}}dc\,;\end{aligned}}$

et, regardant en même temps la fonction $\lambda$ comme une fonction de $x,\,y,\,z$ et comme une fonction de $a,\,b,\,c,$ on aura

$\operatorname {D} \lambda ={\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\operatorname {D} x+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\operatorname {D} y+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\operatorname {D} z={\frac {\operatorname {D} \lambda }{\partial a}}da+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\partial b}}db+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\partial c}}dc\,;$

ces deux expressions de $\operatorname {D} \lambda$ devant être identiques, si l’on substitue dans la première les valeurs de $\operatorname {D} x,\operatorname {D} y,\operatorname {D} z$ en $da,\,db,\,dc,$ il faudra que les coefficients de $da,\,db,\,dc$ soient les mêmes de part et d’autre,