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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

on aura tout de suite les équations dont il s’agit, lesquelles, dans le cas où $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz$ est une différentielle complète représentée par $d\mathrm {V} ,$ peuvent se mettre sous cette forme plus simple

${\begin{aligned}\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\partial x}{\partial a}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\partial y}{\partial a}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial a}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial a}}\right)-{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}=0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\partial x}{\partial b}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\partial y}{\partial b}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}}\right)-{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\partial x}{\partial c}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\partial y}{\partial c}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}\right)-{\frac {\partial \lambda }{\partial c}}=0.\end{aligned}}$

7. On transformera, d’une manière semblable, l’équation (B) de l’article 3 ; et, pour cela, comme, d’après la remarque de l’article 4, les différentielle $dx,\,dy,\,dz$ ne sont relatives qu’à la variable $t,$ on les réduira d’abord aux différences partielles ${\frac {\partial x}{\partial t}}dt,\,{\frac {\partial y}{\partial t}}dt,\,{\frac {\partial z}{\partial t}}dt\,;$ en sorte que l’équation dont il s’agit, étant divisée par $dt,$ sera de la forme

${\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\operatorname {D} x}}+{\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial y}{\partial t}}}{\operatorname {D} y}}+{\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial z}{\partial t}}}{\operatorname {D} z}}=0.$

Or, par les formes trouvées ci-dessus pour les valeurs de ${\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}},\,{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}},\ldots ,$ on aura pareillement, en substituant ${\frac {\partial x}{\partial t}},\,{\frac {\partial y}{\partial t}},\ \ldots$ à la place de $\lambda ,$

${\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\operatorname {D} x}}={\frac {\alpha }{\theta }}{\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\beta }{\theta }}{\frac {\partial }{\partial b}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\gamma }{\theta }}{\frac {\partial }{\partial c}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\,;$

et comme, dans le second membre de cette équation, la quantité $x$ est regardée comme une fonction de $a,\,b,\,c,\,t,$ on aura

${\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial a\partial t}},$

et ainsi des autres différences partielles de $x\,;$ de sorte qu’on aura simplement

${\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\operatorname {D} x}}={\frac {\alpha }{\theta }}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial a\partial t}}+{\frac {\beta }{\theta }}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial b\partial t}}+{\frac {\gamma }{\theta }}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial c\partial t}}.$