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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

On trouvera des expressions semblables pour les valeurs de ${\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial y}{\partial t}}}{\operatorname {D} y}}$ et ${\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial z}{\partial t}}}{\operatorname {D} z}},$ et il n’y aura pour cela qu’échanger, dans la formule précédente, $x$ en $y$ et $z.$

Faisant donc ces substitutions dans l’équation ci-dessus, elle deviendra, après y avoir effacé le dénominateur commun $\theta ,$

${\begin{aligned}&\alpha \ \ {\frac {\partial ^{2}x}{\partial a\partial t}}+\beta \ \ {\frac {\partial ^{2}x}{\partial b\partial t}}+\gamma \ \,{\frac {\partial ^{2}x}{\partial c\partial t}}\\+&\alpha '\ {\frac {\partial ^{2}y}{\partial a\partial t}}+\beta '\ {\frac {\partial ^{2}y}{\partial b\partial t}}+\gamma '\ {\frac {\partial ^{2}y}{\partial c\partial t}}\\+&\alpha ''{\frac {\partial ^{2}y}{\partial a\partial t}}+\beta ''{\frac {\partial ^{2}y}{\partial b\partial t}}+\gamma ''{\frac {\partial ^{2}y}{\partial c\partial t}}=0.\end{aligned}}$

Le premier membre de cette équation n’est autre chose que la valeur de ${\frac {\partial \theta }{\partial t}},$ comme on peut s’en assurer par la différentiation actuelle de l’expression de $\theta$ (art. 5).

Ainsi l’équation devient

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}=0,$

dont l’intégrale est

$\theta =\operatorname {fonct.} (a,b,c).$

Supposons, dans cette équation, $t=0,$ et soit $\mathrm {K}$ ce que devient alors la quantité $\theta ,$ on aura $\mathrm {K} =\operatorname {fonct.} (a,b,c)\,:$ par conséquent, l’équation sera

$\theta =\mathrm {K} .$

Or nous avons supposé que, lorsque $t=0,$ on a

$x=a,\qquad y=b,\qquad z=c\,;$

donc on aura aussi alors

${\begin{alignedat}{3}{\frac {\partial x}{\partial a}}=&1,\qquad &{\frac {\partial x}{\partial b}}=&0,\qquad &{\frac {\partial x}{\partial c}}=&0,\\{\frac {\partial y}{\partial a}}=&0,&{\frac {\partial y}{\partial b}}=&1,&{\frac {\partial y}{\partial c}}=&0,\\{\frac {\partial z}{\partial a}}=&0,&{\frac {\partial z}{\partial b}}=&0,&{\frac {\partial z}{\partial c}}=&1.\end{alignedat}}$