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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

Ces valeurs étant substituées dans l’expression de $\theta$ (art. 5), on a $\theta =1\,;$ donc $\mathrm {K} =1.$

Donc, remettant pour $\theta$ sa valeur dans l’équation dont il s’agit, elle sera de la forme

(E)

${\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}}+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}=1.$

Cette équation, combinée avec les trois équations (C) ou (D) des \piticles 5 et 6, servira donc à déterminer les valeurs de $\lambda ,\,x,\,y,\,z$ en fonctions de $a,\,b,\,c,\,t.$

Cette équation peut aussi se trouver d’une manière plus simple, sans passer par l’équation différentielle (B) de l’article 3. En effet, l’équation (B) exprime seulement que la variation du volume $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z$ de la particule $\operatorname {D} m$ est nulle, tandis que le temps $t$ varie ; de sorte que la valeur de $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z$ doit être constante et égale à la valeur primitive $dadbdc.$ Or nous avons donné dans l’article 5 les expressions de $\operatorname {D} x,\operatorname {D} y,\operatorname {D} z,$ en $da,\,db,\,dc\,;$ mais il faut remarquer que, dans la formule $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z,$ la différence $\operatorname {D} z$ doit être prise en y regardant $x$ et $y$ comme constantes ; que, de même, la différence $\operatorname {D} y$ doit être prise en regardant $x$ et $z$ comme constantes, et qu’enfin la différence $\operatorname {D} x$ suppose $y$ et $z$ constantes, ce qui est évident en considérant le parallélépipède rectangle représenté par $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z.$

Supposons donc d’abord $x$ et $y$ constantes, et, par conséquent, $\operatorname {D} x$ et $\operatorname {D} y$ nuls ; on aura les deux équations

${\begin{aligned}{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc=&0,\\{\frac {\partial y}{\partial a}}da+{\frac {\partial y}{\partial b}}db+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc=&0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$da={\frac {{\cfrac {\partial x}{\partial b}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}-{\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}}{{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}}}dc,\qquad db={\frac {{\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial a}}-{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}}{{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}}}dc\,;$