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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

et il ne s’agira que de satisfaire aux conditions précédentes par le moyen des fonctions indéterminées $\omega ,\,r',\,p',\,p'',\ldots ,\,q',\,q'',\ldots .$

Le calcul deviendrait plus facile encore si les deux variables $y$ et $z$ étaient très petites en même temps vis-à-vis de $x,$ car on pourrait supposer alors

${\begin{alignedat}{7}&p&=&p'&+&p''y&+&p'''z&+&p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}&+&p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz&+&\ldots ,\\&q&=&q'&+&q''y&+&q'''z&+&q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}&+&q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz&+&\ldots ,\\&r&=&r'&+&r''y&+&r'''z&+&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}&+&r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz&+&\ldots ,\end{alignedat}}$

les quantités $p',\,p'',\ldots ,\,q',\,q'',\ldots ,\,r',\,r'',\ldots$ étant de simples fonctions de $x.$

Faisant ces substitutions dans l’équation (G) et égalant séparément à zéro les termes affectés de $y,\,z$ et de leurs produits, on aurait

${\frac {\partial p'}{\partial x}}+q''+r'''=0,\quad {\frac {\partial p''}{\partial x}}+2q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\quad \ldots .$

Ensuite l’équation (L) deviendrait de la forme

${\begin{aligned}d\lambda -d\mathrm {V} =&\alpha dx+\beta dy+\gamma dz+y(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz)\\&+z(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz)+\ldots ,\end{aligned}}$

en supposant

${\begin{aligned}\alpha \ =&{\frac {\partial p'}{\partial t}}\ +p'{\frac {\partial p'}{\partial x}}\ +q'p''+r'p''',\\\beta \ =&{\frac {\partial q'}{\partial t}}\ +p'{\frac {\partial q'}{\partial x}}\ +q'q''+r'q''',\\\gamma \ =&{\frac {\partial r'}{\partial t}}\ +p'{\frac {\partial r'}{\partial x}}\ +q'r''+r'r''',\\\alpha '=&{\frac {\partial p''}{\partial t}}+p'{\frac {\partial p''}{\partial x}}+p''{\frac {\partial p'}{\partial x}}+2q'p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+q''p''+r'p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+r''p''',\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et l’on aurait pour l’intégrabilité de cette équation les conditions

$\alpha '={\frac {\partial \beta }{\partial x}},\quad \alpha ''={\frac {\partial \gamma }{\partial x}},\quad \ldots ,$

moyennant quoi elle donnerait

$\lambda =\mathrm {V} +\int \alpha dx+\beta dy+\gamma dz+\ldots .$