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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Enfin on pourra aussi quelquefois simplifier le calcul par le moyen des substitutions, en introduisant à la place des coordonnées $x,\,y,\,z$ d’autres variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ lesquelles soient des fonctions données de celles-là ; et si, par la nature de la question, la variable $\zeta ,$ par exemple, ou les deux variables $\eta$ et $\zeta$ sont très petites vis-à-vis de $\xi ,$ on pourra employer des réductions analogues à celles que nous venons d’exposer.

§ II. — Du mouvement des fluides pesants et homogènes dans des vases ou
canaux de figure quelconque.

23. Pour montrer l’usage des principes et des formules que nous venons de donner, nous allons les appliquer aux fluides qui se meuvent dans des vases ou des canaux de figure donnée.

Nous supposerons que le fluide soit homogène et pesant, et qu’il parte du repos ou qu’il soit mis en mouvement par l’impulsion d’un piston appliqué à sa surface ; ainsi les vitesses $p,\,q,\,r$ de chaque particule devront être telles, que la quantité $pdx+qdy+rdz$ soit intégrable (art. 18) ; par conséquent, on pourra employer les formules de l’article 20.

Soit donc $\varphi$^[1] une fonction de $x,\,y,\,z$ et $t$ déterminée par l’équation

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0\,;$

on aura d’abord, pour les vitesses de chaque particule suivant les directions des coordonnées $x,\,y,\,z,$ ces expressions

$p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\qquad r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}.$

Ensuite on aura

$\lambda =\mathrm {V} +{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2},$

1. Il ne faut pas croire que toute intégrale de cette équation fournisse la solution du problème : la fin du paragraphe montre, au contraire, que la fonction $\varphi$ est assujettie à d’autres conditions. (J. Bertrand.)