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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

25. Cela posé, il faut commencer par déterminer la fonction $\varphi .$ Or, l’équation d’où elle dépend n’étant intégrable, en général, par aucune méthode connue, nous supposerons que l’une des dimensions de la masse fluide soit fort petite vis-à-vis des deux autres, en sorte que les coordonnées $z,$ par exemple, soient très petites relativement à $x$ et $y.$ Par le moyen de cette supposition, on pourra représenter la valeur de $\varphi$ par une série de cette forme

$\varphi =\varphi '+z\varphi ''+z^{2}\varphi '''+z^{3}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,$

où $\varphi ',\,\varphi '',\,\varphi ''',\ldots$ seront des fonctions de $x,\,y,\,t$ sans $z.$

Faisant donc cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}+2\varphi '''&+z\ \left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}\ +{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\ +2.3\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\\&+z^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial y^{2}}}+3.4\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}$

De sorte qu’en égalant, séparément à zéro les termes affectés des différentes puissances de $z,$ on aura

${\begin{aligned}\varphi '''\ &=-\ \,{\frac {1}{2}}\ \ {\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}-\ \ {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}},\\\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=-{\frac {1}{2.3}}{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}},\\\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ &=-{\frac {1}{3.4}}{\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{3.4}}{\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{4}}}+{\frac {1}{3.4}}{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial y^{4}}},\end{aligned}}$

 

Ainsi l’expression de $\varphi$ deviendra

${\begin{aligned}\varphi =\varphi '&+z\varphi ''-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\right)\\&+{\frac {z^{4}}{2.3.4}}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{4}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle les fonctions $\varphi '$ et $\varphi ''$ sont indéterminées, ce qui fait voir que cette expression est l’intégrale complète de l’équation proposée.