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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

quantité qui devra être nulle à la surface extérieure libre du fluide (art. 2).

Quant à la valeur de $\mathrm {V} ,$ qui dépend des forces accélératricesdu fluide (art. 15), si l’on exprime par $g$ la force accélératrice de la gravité, et qu’on nomme $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ les angles que les axes des coordonnées $x,\,y,\,z$ font avec la verticale menée du point d’intersection de ces axes et dirigée de haut en bas, on aura

$\mathrm {X} =-g\cos \xi ,\qquad \mathrm {Y} =-g\cos \eta ,\qquad \mathrm {Z} =-g\cos \zeta \,;$

je donne le signe $-$ aux valeurs des forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ parce que ces forces sont supposées tendre à diminuer les coordonnées $x,\,y,\,z.$ Donc, puisque

$d\mathrm {V} =\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz,$

on aura, en intégrant,

$\mathrm {V} =-gx\cos \xi -gy\cos \eta -gz\cos \zeta .$

24. Soit maintenant $z=\alpha ,$ ou $z-\alpha =0,$ l’équation d’une des parois du canal, $\alpha$ étant une fonction donnée de $x,y$ sans $z$ ni $t.$ Pour que les mêmes particules du fluide soient toujours contiguës à cette paroi, il faudra remplir l’équation (I) de l’article 12, en y supposant $\mathrm {A} =z-\alpha .$ On aura donc

${\frac {\partial \varphi }{\partial z}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}=0,$

équation à laquelle devra satisfaire la valeur $z=\alpha .$ Chaque paroi fournira aussi une équation semblable.

De même, puisque $\lambda =0$ est l’équation de la surface extérieure du fluide, pour que les mêmes particules soient constamment sur cette surface, on aura l’équation

${\frac {\partial \lambda }{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=0,$

laquelle devra avoir lieu et donner, par conséquent, une même valeur de $z$ que l’équation $\lambda =0.$ Mais cette équation ne sera plus nécessaire dès que la condition dont il s’agit cessera d’avoir lieu.