Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/317

309

SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

Application de ces formules au mouvement d’un fluide qui coule
dans un vase étroit et presque vertical.

28. Imaginons maintenant que le fluide coule dans un vase étroit et à peu près vertical, et supposons, pour plus de simplicité, que les abscisses $x$ soient verticales et dirigées de haut en bas ; on aura (art. 23)

$\xi =0,\qquad \qquad \eta =90^{\circ },\quad \quad \zeta =90^{\circ }\,;$

donc

$\cos \xi =1,\qquad \cos \eta =0,\qquad \cos \zeta =0.$

Supposons de plus, pour simplifier la question autant qu’il est possible, que le vase soit plan, en sorte que, des deux ordonnées $y$ et $z,$ les premières $y$ soient nulles, et les secondes $z$ soient fort petites.

Enfin, soient $z=\alpha$ et $z=\beta$ les équations des deux parois du vase, $\alpha$ et $\beta$ étant des fonctions de $x$ connues et fort petites. On aura, relativement à ces parois, les deux équations (art. 26)

${\begin{aligned}\varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)+\ldots =0,\\\varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)+\ldots =0,\end{aligned}}$

lesquelles serviront à déterminer les fonctions $\varphi '$ et $\varphi ''.$

Nous regarderons les quantités $z,\,\alpha ,\,\beta$ comme très petites du premier ordre, et nous négligerons, du-moins dans la première approximation, les quantités du second ordre et des ordres suivants. Ainsi les deux équations précédentes se réduiront à celles-ci

$\varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)=0,\qquad \varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)=0,$

lesquelles, étant retranchées l’une de l’autre, donnent

${\frac {\partial }{\partial x}}\left[(\alpha -\beta ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right]=0,$