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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

équation dont l’intégrale est

$(\alpha -\beta ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}=\theta ,$

$\theta$ étant une fonction arbitraire de $t,$ laquelle doit être très petite du premier ordre.

Or il est visible que est la largeur horizontale du vase, que nous représenterons par $\gamma .$ Ainsi on aura

${\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}={\frac {\theta }{\gamma }},$

et, intégrant de nouveau par rapport à $x,$

$\varphi '=\theta \int {\frac {dx}{\gamma }}+\vartheta ,$

en désignant par $\vartheta$ une nouvelle fonction arbitraire de $t.$

Si l’on ajoute ensemble les mêmes équations et qu’on fasse

${\frac {\alpha +\beta }{2}}=\mu ,$

on en tirera

$\varphi ''={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right),$

ou, en substituant la valeur de ${\frac {\partial \varphi '}{\partial x}},$

$\varphi ''=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\mu }{\gamma }}\right).$

D’où l’on voit que, puisque $\gamma ,\,\mu ,\,\theta$ sont des quantités très petites du premier ordre, $\varphi ''$ sera aussi très petite du même ordre.

Donc, en négligeant toujours les quantités du second ordre, on aura, par les formules de l’article 25, la vitesse verticale

$p={\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}={\frac {\theta }{\gamma }},$

la vitesse horizontale

$r=\varphi ''-z{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\mu }{\gamma }}\right)-z{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\gamma }}\right)={\frac {\theta }{\gamma }}\left({\frac {\partial \mu }{\partial x}}+{\frac {z-\mu }{\gamma }}{\frac {\partial \gamma }{\partial x}}\right).$