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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

donc, en faisant $t=0,$ on aura une équation qui servira à déterminer la valeur initiale de $\theta .$

Ainsi le problème est résolu, et le mouvement du fluide est entièrement déterminé.

31. Le second cas a lieu lorsque le vase est d’une longueur déterminée et que le fluide s’écoule par le fond du vase. Dans ce cas, on aura, comme dans le cas précédent, pour la surface supérieure, les deux équations

$\lambda '=0,\quad {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma '}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}=0\,;$

mais, pour la surface inférieure, on aura simplement l’équation $\lambda ''=0,$ puisque, à cause de l’écoulement du fluide, il doit y avoir à chaque instant de nouvelles particules à cette surface. Mais, d’un autre côté, l’abscisse $x'',$ pour cette même surface, sera donnée et constante ; de sorte qu’il n’y aura que trois inconnues à déterminer, savoir, $x',\,\theta$ et $\vartheta .$

Les deux premières équations donnent d’abord, comme dans le cas précédent, celles-ci

$dt={\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},\quad g\gamma 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\gamma '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{2\gamma '}}=0\,;$

ensuite l’équation $\lambda '=0$ donnera

$-gx''+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma ''^{2}}}=0,$

où l’on remarquera que $x'',\gamma ''$ et $\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}$ sont des constantes, que nous dénoterons, pour plus de simplicité, par $f,\,h,\,n.$ Ainsi, en substituant à $dt$ sa valeur ${\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},$ multipliant ensuite par $-\gamma 'dx',$ on aura l’équation

$gf\gamma 'dx'-n\theta d\theta -\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}\gamma 'dx'}{2h^{2}}}=0.$

Donc retranchant de celle-ci l’équation précédente, pour en éliminer