Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/322

Cette page a été validée par deux contributeurs.

314

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

On trouvera de la même manière, en substituant ${\frac {\gamma ''dx''}{\theta }}$ à la place de $dt$ dans l’équation $\lambda ''=0$ et multipliant par $-\gamma ''dx'',$ une nouvelle équation intégrable, et dont l’intégrale sera

g\int \gamma ''x''dx''-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int \theta d\vartheta =\mathrm {const} .

Retranchant ces deux équations l’une de l’autre, pour en éliminer le terme $\int \theta d\vartheta ,$ on aura celle-ci

g\left(\int \gamma ''x''dx''-\int \gamma 'x'dx'\right)-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\left(\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int {\frac {dx'}{\gamma '}}\right)=\mathrm {L} ,

dans laquelle les quantités $\int \gamma ''x''dx''-\int \gamma 'x'dx'$ et $\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int {\frac {dx'}{\gamma '}}$ expriment les intégrales de $\gamma xdx$ et de ${\frac {dx}{\gamma }},$ prises depuis $x=x'$ jusqu’à $x=x'',$ et où $\mathrm {L}$ est une constante.

Cette équation donnera donc $\theta$ en $x',$ puisque $x''$ est déjà connue en $x'$ par l’équation trouvée plus haut. Ayant ainsi $\theta$ en $x',$ on trouvera aussi $t$ en $x',$ par l’équation $dt={\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},$ dont l’intégrale est

t=\int {\frac {\gamma 'dx'}{\theta }}+\mathrm {H} ,

$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire.

À l’égard des deux constantes $\mathrm {L}$ et $\mathrm {H} ,$ on les déterminera par l’état initial du fluide. Car, lorsque $t=0,$ la valeur de $x'$ sera donnée par la position initiale du fluide dans le vase ; et si l’on suppose que les vitesses initiales du fluide soient nulles, il faudra que l’on ait $\theta =0,$ lorsque $t=0,$ pour que les expressions $p,\,q,\,r$ (art. 28) deviennent nulles. Mais si le fluide avait été mis d’abord en mouvement par des impulsions quelconques, alors les valeurs de $\lambda '$ et $\lambda ''$ seraient données lorsque $t=0,$ puisque la quantité $\lambda$ rapportée à la surface du fluide exprime la pression que le fluide y exerce, et qui doit être contrebalancée par la pression extérieure (art. 2). Or on a (art. 29)

\lambda ''-\lambda '=-g(x''-x')+{\frac {d\theta }{dt}}\left(\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int {\frac {dx'}{\gamma '}}\right)+{\frac {\theta ^{2}}{2}}\left({\frac {1}{\gamma ''^{2}}}-{\frac {1}{\gamma '^{2}}}\right)\,;