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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

teur. Ici les particules des surfaces supérieure et inférieure se renouvellent entièrement ; par conséquent, on aura simplement, pour ces deux surfaces, les équations

$\lambda '=0,\qquad \lambda ''=0\,;$

mais en même temps les deux abscisses $x'$ et $x''$ seront données et constantes, en sorte qu’il n’y aura que les deux inconnues $\theta$ et $\vartheta$ à déterminer en $t.$

Soit donc

$x'=f,\quad \gamma '=h,\quad \int {\frac {dx'}{\gamma '}}=n,\quad x''=\mathrm {F} ,\quad \gamma ''=\mathrm {H} ,\quad \int {\frac {dx''}{\gamma ''}}=\mathrm {N} \,;$

les deux équations $\lambda '=0,\ \lambda ''=0$ deviendront

${\begin{aligned}-gf+{\frac {d\theta }{dt}}n\,+{\frac {d\vartheta }{dt}}+\ {\frac {\theta ^{2}}{2h^{2}}}=&0,\\-g\mathrm {F} +{\frac {d\theta }{dt}}\mathrm {N} +{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\mathrm {H} ^{2}}}=&0\,;\end{aligned}}$

d’où, chassant ${\frac {d\vartheta }{dt}},$ on aura

$g(\mathrm {F} -f)-(\mathrm {N} -n){\frac {d\theta }{dt}}-\left({\frac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\frac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}=0,$

d’où l’on tire

$dt={\frac {(\mathrm {N} -n)d\theta }{g(\mathrm {F} -f)-\left({\cfrac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\cfrac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}}},$

équation séparée, et qui est intégrable par des arcs de cercle ou des logarithmes.

34. Les solutions précédentes sont conformes à celles que les premiers auteurs auxquels on doit des théories du mouvement des fluides ont trouvées, d’après la supposition que les différentes tranches du fluide conservent exactement leur paralléli\sine en descendant dans le vase. (Voir l’Hydrodynamique de Daniel Bernoulli, l’Hydraulique de Jean Bernoulli, et le Traité des fluides de d’Alembert.) Notre analyse fait voir que cette supposition n’est exacte que lorsque la largeur du