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SECONDE PARTIE. — SECTION XII.

Il n’y aura donc plus qu’à substituer pour $\mathrm {E}$ sa valeur trouvée ci-dessus, et cette substitution donnera l’équation finale en $\varphi$

(n)

$\left\{{\begin{aligned}0=&+gh\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\\&-2{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial t}}-2{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial t}}-2{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z\partial t}}\\&-\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}-\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\\&-2{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}-2{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial z}}-2{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial z}},\end{aligned}}\right.$

laquelle contient seule la théorie du mouvement des fluides élastiques dans l’hypothèse dont il s’agit.

9. Lorsque le mouvement du fluide est très petit, et qu’on n’a égard qu’aux quantités très petites du premier ordre, nous avons vu, dans l’article 21 de la Section précédente, que la quantité $pdx+qdy+rdz$ est aussi nécessairement une différentielle complète. Dans ce cas donc, les formules précédentes auront toujours lieu, de quelque manière que le mouvement du fluide ait été engendré, pourvu qu’il soit toujours très petit, et que, par conséquent, la fonction $\varphi$ soit elle-même très petite.

Dans la théorie du son, on suppose que le mouvement des particules de l’air est très petit ; ainsi, regardant dans l’équation (n) la quantité $\varphi$ comme très petite, et négligeant les termes où elle monte au delà de la première dimension, on aura pour cette théorie l’équation générale

$gh\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0.$

Or, en négligeant de même les secondes dimensions de $\varphi$ dans la valeur de $\mathrm {E}$ de l’article 7, on aura simplement (art. 8)

$\mathrm {E} =-\mathrm {V} -{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=gh\log \Delta .$

On peut supposer que la fonction $\varphi$ soit nulle dans l’état de repos