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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

dans l’équation (g) de l’article 4, on aura une équation aux différences partielles de $\varphi ,$ laquelle, ne contenant que cette inconnue, suffira pour la déterminer ; de sorte que toute la difficulté sera réduite à cette unique intégration.

8. Dans les fluides élastiques connus, l’élasticité est toujours proportionnelle à la densité ; de sorte qu’on a pour ces fluides $\varepsilon =i\Delta ,$ $i$ étant un coefficient constant qu’on déterminera en connaissant la valeur de l’élasticité pour une densité donnée.

Ainsi, pour l’air, l’élasticité est égale au poids de la colonne de mercure dans le baromètre ; donc, si l’on nomme $\mathrm {H}$ la hauteur du baromètre pour une certaine densité de l’air qu’on prendra pour l’unité, $n$ la densité du mercure, c’est-à-dire le rapport numérique de la densité du mercure à celle de l’air, rapport qui est le même que celui des gravités spécifiques, et $g$ la force accélératrice de la gravité, on aura, lorsque $\Delta =1,$

$\varepsilon =gn\mathrm {H} \,;\qquad \mathrm {par\ cons{\acute {e}}quent,} \qquad i=gn\mathrm {H} ,$

où l’on remarque que $n\mathrm {H}$ est la hauteur de l’atmosphère supposée homogène. De sorte qu’en désignant cette hauteur par $h,$ on aura plus simplement

$i=gh\qquad {\text{et, de là}}\qquad \varepsilon =gh\Delta .$

Donc, puisque $\mathrm {E} =\int {\frac {d\varepsilon }{\Delta }},$ on aura

$\mathrm {E} =gh\log \Delta .$

Or l’équation (g) de l’article 4 peut se mettre sous la forme

${\frac {\partial \log \Delta }{\partial t}}+{\frac {\partial \log \Delta }{\partial x}}p+{\frac {\partial \log \Delta }{\partial y}}q+{\frac {\partial \log \Delta }{\partial z}}r+{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial q}{\partial y}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}=0.$

Donc, substituant ${\frac {\mathrm {E} }{gh}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}$ à la place de $\log \Delta ,\,p,\,q,\,r,$ et multipliant par $gh,$ elle deviendra

$gf\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial y}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial z}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0.$