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SECONDE PARTIE. — SECTION XII.

Mais, avec cette simplification même, elle est encore trop compliquée pour pouvoir s’intégrer rigoureusement^[1].

Au reste, cette équation est entièrement semblable à celle du mouvement des ondes dans un canal horizontal et peu profond. Voir la Section précédente, article 37.

Jusqu’à présent, on n’a pu résoudre complètement que le cas où l’on ne considère dans la masse de l’air qu’une seule dimension, c’est-à-dire celui d’une ligne sonore, dont les particules ne font que des excursions longitudinales.

Dans ce cas, en prenant cette même ligne pour l’axe $x,$ la fonction $\varphi$ ne contiendra point $y,$ et l’équation ci-dessus se réduira à

$gh{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}},$

laquelle est semblable à celle des cordes vibrantes et a pour intégrale complète

$\varphi =\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {gh}}\right)+f\left(x-t{\sqrt {gh}}\right),$

en dénotant par les caractéristiques ou signes $\operatorname {F}$ et $f$ deux fonctions arbitraires.

Cette formule renferme deux théories importantes, celle du son des flûtes ou tuyaux d’orgue, et celle de la propagation du son dans l’air libre. Il ne s’agit que de déterminer convenablement les deux fonctions arbitraires ; et voici les principes qui doivent guider dans cette détermination.

11. Pour les flûtes, on ne considère que la ligne sonore qui y est contenue ; on suppose que l’état initial de cette ligne soit donné, cet état dépendant des ébranlements imprimés aux particules, et l’on demande la loi des oscillations.

Faisons commencer les abscisses $x$ à l’une des extrémités de cette

1. Cette équation a été intégrée par Poisson, ainsi que l’équation plus générale dans laquelle on suppose $\varphi$ fonction de $x,y$ et $z.$ Voir les nouveaux Mémoires de l’Académie des Sciences, t. III. (J. Bertrand.)