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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

ligne, et soit sa longueur, c’est-à-dire celle de la flûte, égale à $a.$ Les condensations $s$ et les vitesses longitudinales $p$ seront donc données, lorsque $t=0,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=a\,;$ nous les nommerons $\mathrm {S}$ et $\mathrm {P} .$

Maintenant, puisque $s={\frac {1}{gh}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$ et $p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},$ si l’on différentie l’expression générale de $\varphi$ de l’article précédent, et qu’on désigne par $\operatorname {F}$ et $f'$ les différentielles des fonctions marquées par $\operatorname {F}$ et $f,$ en sorte que $\operatorname {F} '(x)={\frac {\partial \operatorname {F} (x)}{\partial x}},\,f'(x)={\frac {\partial f(x)}{\partial x}},$ on aura

${\begin{aligned}p=&\operatorname {F} '\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)+f'\left(x-t{\sqrt {gh}}\right),\\s{\sqrt {gh}}=&\operatorname {F} '\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)-f'\left(x-t{\sqrt {gh}}\right).\end{aligned}}$

Faisant $t=0$ et changeant $p$ en $\mathrm {P}$ et $s$ en $\mathrm {S}$, on aura

$\mathrm {P} =\operatorname {F} '(x)+f'(x),\qquad \mathrm {S} {\sqrt {gh}}=\operatorname {F} '(x)-f'(x).$

Ainsi, comme $\mathrm {P}$ et $\mathrm {S}$ sont données pour toutes les abscisses $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=a,$ on aura aussi dans cette étendue les valeurs de $\operatorname {F} '(x)$ et de $f'(x)\,;$ par conséquent, on aura les valeurs de $p$ et $s$ pour une abscisse et un temps quelconques, tant que $x\pm t{\sqrt {gh}}$ seront renfermées dans les limites $0$ et $a.$

Mais, le temps $t$ croissant toujours, les quantités $x+t{\sqrt {gh}}$ et $x-t{\sqrt {gh}}$ sortiront bientôt de ces limites, et la détermination des fonctions

$\operatorname {F} '\left(x+t{\sqrt {gh}}\right),\quad f'\left(x-t{\sqrt {gh}}\right)$

dépendra alors des conditions qui doivent avoir lieu aux extrémités de la ligne sonore, selon que la flûte sera ouverte ou fermée.

12. Supposons d’abord la flûte ouverte par ses deux bouts, en sorte que la ligne sonore y communique immédiatement avec l’air extérieur il est clair que son élasticité, dans ces deux points, ne pouvant être contre-balancée que par la pression constante de l’atmosphère, la condensation $s$ y devra toujours être nulle. Il faudra donc que l’on ait, dans ce cas, $s=0,$ lorsque $x=0$ et lorsque $x=a,$ quelle que soit la