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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

soit $t,$ ce qui donnera la condition

$\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)+f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right)=0.$

Or on a vu (art. 14) que la fonction $f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right)$ a une valeur réelle tant que

$a-t{\sqrt {gh}}=z\,;$

donc, puisque

$\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)=-f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right),$

la fonction $\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)$ aura aussi des valeurs réelles lorsque

$a-t{\sqrt {gh}}=z,$

c’est-à-dire lorsque

$t{\sqrt {gh}}=a-z.$

Par conséquent, la fonction $\operatorname {F} '\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)$ sera non seulement réelle lorsque

$x+t{\sqrt {gh}}=z,$

mais encore lorsque

$x+t{\sqrt {gh}}=2a-z\,;$

d’où il suit que, dans ce cas, les vitesses $p$ et les condensations $s$ seront aussi réelles pour les abscisses

$x=2a-z-t{\sqrt {gh}}.$

Ainsi la fibre sonore, après avoir parcouru l’espace $a,$ sera comme réfléchie par l’obstacle qu’elle rencontre, et rebroussera avec la vitesse, ce qui donne l’explication bien naturelle des échos ordinaires.

On expliquera de la même manière les échos composés, en supposant que la ligne sonore soit terminée des deux côtés par des obstacles immobiles qui réfléchiront successivement les fibres sonores et leur feront faire des espèces d’oscillations continuelles. Sur quoi on peut voir les Ouvrages cités plus haut (art. 13), ainsi que les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1759 et 1765.