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NOTES.

NOTE I.

Sur la convergence des séries ordonnées suivant les puissances de l’excentricité qui se présentent dans la théorie du mouvement elliptique ; par M. V. Puiseux.

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Nommons $\zeta$ l’anomalie moyenne d’une planète, $u$ l’anomalie excentrique, $e$ l’excentricité de l’orbite, de sorte qu’on ait l’équation

$u-e\sin u=\zeta \,;$

on peut désirer de savoir dans quel cas la variable $u$ et les fonctions finies et continues de cette variable peuvent être développées en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de $e.$

Pour répondre à cette question, observons d’abord que, $\zeta$ étant regardée comme une constante réelle et $e$ comme une variable réelle ou imaginaire, l’équation transcendante

$u-e\sin u=\zeta$

détermine pour chaque valeur de $e$ une infinité de valeurs de $u,$ dont l’une se réduit à zéro pour $e=0,$ tandis que les autres deviennent infinies. Généralement, les valeurs de $u$ correspondantes à une valeur de $e$ sont inégales ; mais, pour certaines valeurs de $e,$ deux valeurs de $u$ deviennent égales, et, par conséquent, vérifient à la fois les deux équations

$u-e\sin u=\zeta ,\qquad 1-e\cos u=0,$

dont la seconde est la dérivée de la première prise par rapport à $u.$ Parmi ces valeurs de $e,$ il y en a une dont le module est le plus petit ; nous nommerons $a$ ce plus petit module, lequel dépend d’ailleurs de la constante $\zeta .$

Cela posé, si l’on assujettit le module de $e$ à rester moindre que $a,$ et la variable $u$ à s’annuler pour $e=0,$ $u$ sera une fonction de $e$ complètement déter-