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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
dans laquelle
est le demi-paramètre, donne
![{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}=1-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b^{2}}{8a^{2}}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1b976cfe4e7839ef8d1748bacd10972bbcff5f)
L’équation entre
et
(art. 16), étant mise sous la forme
![{\displaystyle (t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}=\theta -e\sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b334287048994c463fc0e61ea507b9cd1bf4fbaf)
fait voir que, lorsque
est très grand,
devient très petit, de sorte qu’on peut developper
en ![{\displaystyle \theta -{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27d271a7a6dc610e7a3755d400fa27093671b81)
En faisant ces substitutions dans l’équation précédente, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}={\frac {\theta ^{3}}{2.3}}&-{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots +{\frac {b}{2a}}\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots \right)\\&+{\frac {b^{2}}{8a^{2}}}(\theta -\ldots )+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c07c36f95691754456298e39759f7bbef4d9fb2)
où l’on voit que la quantité
est de l’ordre de
Si donc on fait
![{\displaystyle \theta ={\frac {\Theta }{\sqrt {a}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3639b4f153dd20e5f6576a8bd3bcb1edda0c6229)
et qu’on ne pousse l’approximation que jusqu’aux termes de l’ordre de
on aura
![{\displaystyle (t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {b}{2}}\Theta +{\frac {1}{2.3}}\Theta ^{3}+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}\Theta -{\frac {b}{4.3}}\Theta ^{3}-{\frac {1}{2.3.4.5}}\Theta ^{5}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eece0e02db634f6250e1b9bcf0db0d249fa6cee7)
On trouvera par les mêmes réductions
![{\displaystyle {\begin{aligned}r=&{\frac {1}{2}}\left(b+\Theta ^{2}\right)+{\frac {1}{4a}}\left({\frac {b^{2}}{2}}-b\Theta ^{2}-{\frac {1}{2.3}}\Theta ^{4}\right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {b}}}\Theta -{\frac {\sqrt {b}}{4a}}\left(\Theta +{\frac {1}{3b}}\Theta ^{2}\right),\\\mathrm {X} =&{\frac {1}{2}}\left(b-\Theta ^{2}\right)+{\frac {b^{2}}{8a}}\left(1+{\frac {1}{3}}\Theta ^{4}\right),\\\mathrm {Y} =&{\sqrt {b}}\Theta -{\frac {\sqrt {b}}{2.3a}}\Theta ^{3}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a28918013e7610f2033a431bb162209adab23c2)