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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
Soit
la valeur de
lorsque
ce qui est le cas de la paraboles ; on a, pour déterminer
en
l’équation du troisième degré
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{3}+3b\mathrm {T} =6(t-c){\sqrt {g}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b70b48d102993247bac8e0c24fe90a95ac9d8f)
laquelle donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&+{\sqrt[{3}]{3(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}+{\sqrt {9(t-c)^{2}\mathrm {g} +b^{3}}}}}\\&+{\sqrt[{3}]{3(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}-{\sqrt {9(t-c)^{2}\mathrm {g} +b^{3}}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441eba5c0441aa6ea79fd0963d6850072f246a3e)
et si l’on fait
![{\displaystyle T={\frac {-{\cfrac {b^{2}\mathrm {T} }{4}}+{\cfrac {b\mathrm {T} ^{3}}{6}}+{\cfrac {\mathrm {T} ^{5}}{3.4.5}}}{b+\mathrm {T} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4950b0dda3717942c190f70218d9bfe9bf65fe88)
on aura
![{\displaystyle \Theta =\mathrm {T} +{\frac {\mathrm {T} '}{a}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ee8dd6aca439872c153dd89b7a2a675490ce82)
et, de là,
![{\displaystyle {\begin{aligned}r=&{\frac {1}{2}}\left(b+\mathrm {T} ^{2}\right)+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}-{\frac {b\mathrm {T} ^{2}}{4}}-{\frac {\mathrm {T} ^{4}}{24}}+\mathrm {TT'} \right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\frac {\mathrm {T} }{\sqrt {b}}}-{\frac {1}{a}}\left({\frac {\mathrm {T} {\sqrt {b}}}{4}}+{\frac {\mathrm {T} ^{3}}{12{\sqrt {b}}}}-{\frac {\mathrm {T} '}{\sqrt {b}}}\right),\\\mathrm {X} =&{\frac {1}{2}}\left(b-\mathrm {T} ^{2}\right)+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}+{\frac {b^{2}\mathrm {T} ^{4}}{24}}-\mathrm {TT'} \right),\\\mathrm {Y} =&\mathrm {T} {\sqrt {b}}-{\frac {1}{a}}\left({\frac {\mathrm {T} ^{3}{\sqrt {b}}}{6}}-\mathrm {T} '{\sqrt {b}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e78e81ad16ed2110b8feb97fe24cfd18b9c7c5b)
Mais l’irrationnalité de l’expression de
empêchera toujours que ces formules ne soient d’un grand usage dans le calcul analytique des orbites paraboliques ou presque paraboliques.
25. Il est bon de remarquer, relativement au mouvement parabolique, qu’on peut déterminer le temps employé à parcourir un arc quelconque de la parabole par une formule assez simple, qui ne renferme que la somme des rayons vecteurs qui répondentaux deux extrémités de l’arc et la corde qui sous-tend cet arc.
En faisant
infini et
les formules précédentes donnent
![{\displaystyle 6(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}=b{\sqrt {b}}\left(3\tau +\tau ^{3}\right),\quad \tau =\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7735fc27e7fac0abf00885302f839ab727b931f)
![{\displaystyle 2r=b\left(1+\tau ^{2}\right),\quad 2\mathrm {X} =b\left(1-\tau ^{2}\right),\quad \mathrm {Y} =b\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abdf67b9f2b8c63989727d23f792e49a8afa81b6)