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NOTES.

tions différentielles du mouvement, qui sont ici les équations (6). La solution définie par le système (9) satisfait, sans aucun doute possible, aux équations (7). Si donc les systèmes (6) et (7) étaient complètement équivalents, on pourrait affirmer que les formules (9) donnerontune solution du problème proposé.

Mais le système des équations différentielles du mouvement et le système des intégrales premières (7) ne sont pas absolument équivalents. Pour obtenir les intégrales (7), il a fallu multiplier les équations (6) respectivement par $\alpha '$ et par $\beta '.$ On a donc pu introduire des solutions étrangères vérifiant l’une des équations

$\alpha '=0,\quad \beta '=0.$

Toute solution de la première équation (7) pour laquelle n’est pas une constante satisfera certainement a la première équation (6), qui s’en déduit en différentiant et en supprimant le facteur $d\alpha \,;$ mais la solution de cette équation (7) pour laquelle $\alpha$ est une constante, déterminée nécessairement par la condition

$\operatorname {F} (\alpha )=\mathrm {C} ,$

est précisémentla seule pour laquelle on ne puisse rien affirmer.

Et, en effet, si l’on suppose $\alpha$ constant dans la première équation (6), on trouve l’équation de condition

$\operatorname {F} '(\alpha )=0,$

qui n’est pas, en général, compatible avec la seconde des équations (9). Ainsi, il ne pourra y avoir de solution du problème de Mécanique proposé correspondante à une valeur constante de $\alpha ,$ que si cette valeur satisfait à l’équation

$\operatorname {F} '(\alpha )=0.$

La valeur correspondante de la constante $\mathrm {C}$ sera alors $\operatorname {F} (\alpha ).$

Supposons que l’on ait, en même temps,

${\begin{aligned}\lambda =&f(\alpha )-f_{1}(\beta ),\\\lambda \mathrm {U} =&\varphi (\alpha )-\varphi _{1}(\beta ).\end{aligned}}$

Alors on pourra prendre

${\begin{aligned}\operatorname {F} \ (\alpha )=&\varphi \ \,(\alpha )+hf\ (\alpha ),\\\operatorname {F} _{1}(\beta )=&\varphi _{1}(\beta )+hf_{1}(\beta ).\end{aligned}}$

Il y aura donc toujours une valeur de $h$ telle que l’équation

$\operatorname {F} '(\alpha )=\varphi '(\alpha )+hf'(\alpha )=0$