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NOTES.

Supposons, comme il arrive dans tous les cas où l’on sait intégrer, que le produit

$\lambda (\mathrm {U} +h)$

soit de la forme

(5)

$\lambda (\mathrm {U} +h)=\operatorname {F} (\alpha )-\operatorname {F} _{1}(\beta ).$

Les équations (4) pourront s’écrire comme il suit

(6)

$\left\{{\begin{aligned}\lambda {\frac {d}{dt}}(\lambda \alpha ')=&+\operatorname {F} '(\alpha ),\\\lambda {\frac {d}{dt}}(\lambda \beta ')=&-\operatorname {F} '_{1}(\beta ).\end{aligned}}\right.$

Si l’on multiplie la première équations par $\alpha '$ et la seconde par $\beta ',$ les deux membres deviennent des différentielles exactes dans les deux équations, et l’on trouve, en intégrant,

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\lambda ^{2}\alpha '^{2}}{2}}=&\operatorname {F} (\alpha )-\mathrm {C} ,\\{\frac {\lambda ^{2}\beta '^{2}}{2}}=&\mathrm {C} -\operatorname {F} _{1}(\beta ),\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {C}$ étant une constante qui doit être la même dans les deux cas, en vertu de l’équation des forces vives. On déduit de là les relations

(8)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad {\frac {d\alpha }{\sqrt {\operatorname {F} (\alpha )-\mathrm {C} }}}={\frac {d\beta }{\sqrt {\mathrm {C} -\operatorname {F} _{1}(\beta )}}},\\&{\sqrt {2}}dt={\frac {\lambda d\alpha }{\sqrt {\operatorname {F} (\alpha )-\mathrm {C} }}}={\frac {\lambda d\beta }{\sqrt {\mathrm {C} -\operatorname {F} _{1}(\beta )}}},\end{aligned}}\right.$

qui font connaître à la fois la trajectoire et la manière dont elle est parcourue.

Ici, dans ce cas général, se présente encore la difficulté examinée par M. Serret. Les équations précédentes admettent incontestablement la solution définie par les deux équations

(9)

$d\alpha =0,\qquad \operatorname {F} (\alpha )=\mathrm {C} ,\qquad {\sqrt {2}}dt={\frac {\lambda d\beta }{\sqrt {\mathrm {C} -\operatorname {F} _{1}(\beta )}}},$

et il y a lieu de se demander si cette solution convient au problème de Mécanique proposé. La réponse la plus nette nous paraît être la suivante :

Pour connaître si une solution quelconque convient à un problème de Mécanique, il suffit évidemment de rechercher si cette solution vérifie les équa-