NOTE IV.
Sur un théorème de Mécanique ; par M. Ossian Bonnet.
Lagrange a montré, à la page 110 de ce Volume, que la même section conique qui peut être décrite en vertu d’une force tendante à l’un des foyers en raison inverse du carré-de la distance, ou tendante au centre en raison directe de la distance, peut l’être encore, sous certaines conditions, en vertu de trois forces pareilles tendantes aux deux foyers et au centre ; ce qui, dit-il, est très remarquable.
Legendre a été conduit plus tard à une conséquence analogue, mais plus explicite, dans le Traité des fonctions elliptiques ; on lit, en effet, à la page 426 du Tome Ier de cet Ouvrage :
« Soit le sommet d’une ellipse dont et sont les deux foyers ; soit la vitesse en nécessaire pour que cette ellipse soit décrite en vertu de la force appliquée au foyer soit pareillement la vitesse en nécessaire pour que l’ellipse soit décrite en vertu de la force appliquée à l’autre foyer si ces deux forces agissent à la fois sur le mobile et que la vitesse initiale soit telle que il décrira encore la même courbe. »
Ces résultats ne sont que des corollaires d’un théorème général que l’on peut énoncer comme il suit :
Théorème. — Si plusieurs masses respectivement soumises à l’action des forces et partant toutes d’un point avec des vitesses de grandeur différente mais de même direction, décrivent la même courbe la masse quelconque soumise à l’action de la résultante des forces et partant du point avec une vitesse ayant la même direction que les vitesses décrira encore la courbe pourvu que les forces soient indépendantes du temps et que la force vive initiale de la masse soit égale à la somme
des forees vives initiales des masses
Démonstration. — Afin d’abréger le discours, appelons mouvements par-
