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NOTES.

tiels ceux qui sont produits par les forces $\mathrm {F,\,F',\,F} '',\ldots$ agissant séparément, et mouvement composé celui qui produit la résultante de ces forces.

Si le mobile $\mathrm {M}$ ne décrit pas la courbe $\mathrm {ACB}$ dans le mouvement composé, on pourra lui faire décrire cette courbe en adjoignant à la résultante des forces $\mathrm {F,\,F',\,F} '',\ldots$ une force normale convenablement choisie, et l’on aura alors les équations connues

${\begin{aligned}\mathrm {M} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&\mathrm {X+X'+X''+\ldots +N\cos \alpha =\sum X+N} \cos \alpha ,\\\mathrm {M} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\mathrm {Y+Y'+Y''+\ldots +N\cos \beta =\sum Y+N} \cos \beta ,\\\mathrm {M} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&\mathrm {Z\,+Z'\,+Z''\,+\ldots +N\cos \gamma =\sum Z+N} \cos \gamma ,\end{aligned}}$

$x,\,y,\,z$ représentant les coordonnées du mobile au bout du temps $t,$ $\mathrm {(X,\,Y,\,Z)} ,$ $\mathrm {(X',\,Y',\,Z')} ,\,\mathrm {(X'',\,Y'',\,Z'')} ,\ldots$ les composantes respectives prises parallèlement aux axes des forces $\mathrm {F,\,F',\,F''} ,\ldots ,$ $\mathrm {N}$ l’intensité de la force normale, et $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ les angles que la direction de cette force fait avec les parties positives des axes des coordonnées.

Multipliant la première équation par $2dx,$ la deuxième par $2dy,$ la troisième par $2dz,$ et ajoutant, il viendra

$d\mathrm {MV} ^{2}=2dx\sum \mathrm {X} +2dy\sum \mathrm {Y} +2dz\sum \mathrm {Z} ,$

$\mathrm {V}$ étant la vitesse du mobile au point $x,\,y,\,z\,;$ mais, remarquons que $v,\,v',\,v'',\ldots$ étant les vitesses des masses $m,\,m',\,m'',\ldots$ lorsqu’elles passent par le même point dans les mouvements partiels, on a

${\begin{aligned}d\,mv^{2}\quad =&2(\mathrm {X} \ \,dx+\mathrm {Y} \ \,dy+\mathrm {Z} \ \ dz),\\d\,m'v'^{2}\,\ =&2(\mathrm {X} '\,dx+\mathrm {Y} '\,dy+\mathrm {Z} '\ dz),\\d\,m''v''^{2}=&2(\mathrm {X} ''dx+\mathrm {Y} ''dy+\mathrm {Z} ''dz),\\\end{aligned}}$

 

On a donc aussi

$d\mathrm {MV} ^{2}=d\,mv^{2}+d\,m'v'^{2}+d\,m''v''^{2}+\ldots =\sum d\,mv^{2}=d\sum mv^{2}\,;$

d’où, intégrant,

$\mathrm {MV^{2}=C} +\sum mv^{2}$