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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
Marquons par un trait les mêmes quantités rapportées à un autre point de la parabole ; la différence
ou le temps employé à parcourir un arc de parabole contenu entre deux points donnés, sera exprimé par la formule
![{\displaystyle 6(t'-t){\sqrt {\mathrm {g} }}=b{\sqrt {b}}\left(3+\tau ^{2}+\tau \tau '+\tau '^{2}\right)(\tau '-\tau ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55136dafc5458517c558c8468d4d24e7ee5f1c8d)
Or, on a
![{\displaystyle \mathrm {X} =b-r,\quad \mathrm {Y} ={\sqrt {2br-b^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421e093ad7180b2d5d1a14c89e715dd90a32bf4f)
et, si l’on nomme
la corde qui joint les deux extrémités des rayons
et
on aura
![{\displaystyle v^{2}=\mathrm {(X'-X)^{2}+(Y'-Y)^{2}} =(r'-r)^{2}+\left({\sqrt {2br'-b^{2}}}-{\sqrt {2br-b^{2}}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78754835570bb7b923ca349c8427ea9f94814d8e)
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {U} ^{2}=v^{2}-(r'-r)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463860296cabcef1fb0cd0b05fa97dabc03b6795)
on a
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\sqrt {2br'-b^{2}}}-{\sqrt {2br-b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7851a3af06f42590c891cf3b3a7dbc98d820ea82)
équation d’où il s’agit de tirer la valeur de ![{\displaystyle b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
Faisant disparaître les radicaux et ordonnant les termes par rapport à
on a
![{\displaystyle b^{2}\left[(r'-r)^{2}+\mathrm {U} ^{2}\right]-b\mathrm {U} ^{2}(r'+r)+{\frac {\mathrm {U} ^{4}}{4}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bf5e262707e9e55f1c34f6513b380b21aa11df)
d’où l’on tire
![{\displaystyle b={\frac {\mathrm {U} ^{2}\left(r'+r+{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}}\right)}{2\left[(r'-r)^{2}+\mathrm {U} ^{2}\right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27136db106776565ffa7954f1402fce33c02e11d)
ou bien, en multipliant le haut et le bas par ![{\displaystyle r'+r-{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a54aea150a5e50dc83153ec787f319c5c79f4f9)
![{\displaystyle b={\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2\left(r'+r-{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f216e9c37873bf7f766cbdd1b9321d680a777bcc)
Maintenant on a
![{\displaystyle \tau ={\frac {\sqrt {2br-b^{2}}}{b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2eca72b7e5eddab6c1b4c5ae0eca307af82b77)
donc
![{\displaystyle \tau '-\tau ={\frac {\mathrm {U} }{b}}\qquad {\text{et}}\qquad \tau ^{2}+\tau '^{2}+\tau \tau '={\frac {3(r+r')}{b}}-3-{\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2b^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd31ec3d8e822105e0396e705807bac3a085735d)
donc
![{\displaystyle 6(t'-t){\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {\mathrm {U} }{2b{\sqrt {b}}}}\left[6b(r'+r)-\mathrm {U} ^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122407d7bbaccb40c79ee9f66e407ac31a32a0a8)