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FRAGMENTS.

savoir, en changeant $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ en $pdt,\,qdt,\,rdt,$

(a)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}&d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}&+&\left(q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)dt&=&0,\\&d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}&+&\left(r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}-p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)dt&=&0,\\&d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}&+&\left(p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}-q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)dt&=&0,\end{alignedat}}\right.$

comme dans les équations (A) de la page 231 ; mais ces formules-ci sont générales, quelle que soit la variabilité de $a,\,b,\,c.$

Ainsi on aura tout de suite l’intégrale

$\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2}=f^{2}.$

Ensuite on aura aussi

$p\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=0,$

mais qui ne sera pas une différentielle complète, à cause de la variabilité de $a,\,b,\,c\,;$ mais on aura toujours, par le principe des forces vives, l’intégrale

$\mathrm {T+V=const} .,$

$\mathrm {V}$ étant égal à _S$\Pi \mathrm {m} ,$ $\Pi$ dénotant la fonction provenant des forces attractives (Sect. III, art. 34).

Enfin, en multipliant ces équations respectivement par $d\xi ',\,d\xi '',\,d\xi ''',$ on aura, en les ajoutant,

${\begin{aligned}\xi 'd{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}&+\xi ''d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\xi '''d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}(r\xi ''-q\xi ''')dt\\&+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}(p\xi '''-r\xi ')dt+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}(q\xi '-p\xi '')dt=0,\end{aligned}}$

savoir, à cause de $d\zeta '=(r\zeta ''-q\zeta ''')dt,\ldots$ (p. 214),

$\xi '{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\xi ''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\xi '''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=\mathrm {const} .=l,$

et de même

(b)

$\eta '{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\eta ''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\eta '''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=m,\qquad \zeta '{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\zeta ''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\zeta '''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=n.$