Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/390

382

FRAGMENTS.

fixe dans l’espace est constante dans ce cas. En effet, puisque, dans les formules de la page 212, $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ indiquent les rotations autour des axes des coordonnées $a,\,b,\,c,$ et $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N}$ indiquant les rotations autour des axes des $x,\,y,\,z,$ il s’ensuit que, si l’on prend les premières pour $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N} ,$ on pourra rapporter celles-ci à d’autres axes par rapport auxquels elles deviendront $(d\mathrm {L} ),\,(d\mathrm {M} ),\,(d\mathrm {N} ),$ la position des nouveaux axes étant déterminée par des quantités $\xi ',\,\eta ',\ldots$ que je désignerai par $(\xi '),\,(\eta '),\ldots .$ On aura ainsi

${\begin{alignedat}{4}&(d\mathrm {L} )&=&(\xi ')d\mathrm {L} &+&(\xi '')d\mathrm {M} &+&(\xi ''')d\mathrm {N} ,\\&(d\mathrm {M} )&=&(\eta ')d\mathrm {L} &+&(\eta '')d\mathrm {M} &+&(\eta ''')d\mathrm {N} ,\\&(d\mathrm {N} )&=&(\zeta ')d\mathrm {L} &+&(\zeta '')d\mathrm {M} &+&(\zeta ''')d\mathrm {N} .\end{alignedat}}$

Donc, puisque $(\xi ')^{2}+(\xi '')^{2}+(\xi ''')^{2}=1,$ si l’on met l’équation ci-dessus sous la forme

${\frac {l{\cfrac {d\mathrm {L} }{dt}}+m{\cfrac {d\mathrm {M} }{dt}}+n{\cfrac {d\mathrm {N} }{dt}}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}={\frac {\mathrm {K-\int \operatorname {d} T-V} }{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}},$

on pourra faire

$(\xi ')={\frac {l}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}},\quad (\xi '')={\frac {m}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}},\quad (\xi ''')={\frac {n}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}},$

et l’on aura

${\frac {(d\mathrm {L} )}{dt}}={\frac {\mathrm {K-\int \operatorname {d} T-V} }{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}\,;$

Ainsi la vitesse de rotation autour d’un axe fixe sera

${\frac {\mathrm {K-\int \operatorname {d} T-V} }{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}\,;$

elle sera donc constante lorsque $\operatorname {d} \mathrm {T}$ sera égal à $0$ et que $\mathrm {V}$ sera constant.

Si les forces accélératrices dépendent de l’attraction d’un corps dont les coordonnées relativement au centre des coordonnées $a,\,b,\,c,$ et parallèlement aux axes des $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ soient $\mathrm {x,\,y,\,z} ,$ on aura

$\Pi ={\frac {1}{\sqrt {(\mathrm {x} -\xi )^{2}+(\mathrm {y} -\eta )^{2}+(\mathrm {z} -\zeta )^{2}}}},\quad \mathrm {V} =$_S$\Pi \operatorname {D} \mathrm {m} .$