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FRAGMENTS.

Les équations (c) ci-dessus sont les mêmes qui ont été trouvées à la page par une voie moins directe.

Si maintenant on multiplie les équations (b) de la page précédente par ${\frac {d\mathrm {L} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {M} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {N} }{dt}},$ et qu’on les ajoute, on aura par les formules de la page 212, à cause de $p={\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,q={\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,r={\frac {d\mathrm {R} }{dt}},$

$p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}={\frac {l\,d\mathrm {L} +m\,d\mathrm {M} +n\,d\mathrm {N} }{dt}}.$

Mais nous avons trouvé l’équation

$p\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=0,$

qui résulte des équations (a) multipliées par $p,\,q,\,r$ et ajoutées ; donc, si l’on désigne par $d\mathrm {T}$ la variation de $\mathrm {T}$ relative à $a,\,b,\,c$ seulement, on aura

$d\mathrm {T} ={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}dp+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}dq+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}dr+\operatorname {d} \mathrm {T} \,;$

donc, ajoutant l’équation précédente, on aura

$d\mathrm {T} =d\left(p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)+\operatorname {d} \mathrm {T} \,;$

donc

$p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=\mathrm {T} -\int \operatorname {d} \mathrm {T} +\mathrm {const} .$

Mais le principe des forces vives donne

$\mathrm {T+V=const} .;$

donc on aura

$p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=\mathrm {K} -\int \operatorname {d} \mathrm {T} -\mathrm {V} \,;$

donc

(K)

$l{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}+m{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}+n{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=\mathrm {K} -\int \operatorname {d} \mathrm {T} -\mathrm {V} \,;$

et si $a,\,b,\,c$ sont constantes, $d\mathrm {T} =0\,;$ et $\mathrm {V}$ sera constant s’il ne provient que des forces intérieures.

L’équation (K) indique que la vitesse de rotation autour d’un certain axe