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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
d’où, en différentiant de nouveau et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle s={\frac {rdr}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7cd0dd113aea5af909d8b15345e2c29e62d4ac)
on a celle-ci
![{\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} s}{r^{3}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0db615cb33606da5cb8d2fb563f855245cfdbf)
laquelle est tout à fait semblable aux précédentes.
On aura ainsi, par des différentiations et des substitutions successives,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&-{\frac {\mathrm {g} x}{r^{3}}},\quad {\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}={\frac {3\mathrm {g} s}{r^{5}}}x-{\frac {\mathrm {g} }{r^{3}}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{4}x}{dt^{4}}}=&+\left({\frac {3\mathrm {g} }{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.5\mathrm {g} s^{2}}{r^{7}}}+{\frac {\mathrm {g} ^{2}}{r^{6}}}\right)x+{\frac {2.3\mathrm {g} s}{r^{5}}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{5}x}{dt^{5}}}=&+\left(-{\frac {3.3.5\mathrm {g} }{r^{7}}}{\frac {sds}{dt}}+{\frac {3.5.7\mathrm {g} s^{3}}{r^{9}}}-{\frac {3.5.\mathrm {g} ^{2}s}{r^{8}}}\right)x\\&+\left({\frac {3.3\mathrm {g} }{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.3.5\mathrm {g} s^{2}}{r^{7}}}+{\frac {\mathrm {g} ^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {dx}{dt}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3393b25fee9f23fed410d25ff74a18b36ac8b9cb)
et ainsi de suite.
On aura de pareilles expressions pour les différentielles de
et
en changeant seulement
en
et
28. On fera donc ces substitutions, et, comme les quantités
et leurs différentielles se rapportent, dans ces formules, au commencement du temps
si l’on y change
en
et qu’on désigne par
les valeurs de
qui répondent à
et qu’on suppose, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&+1-{\frac {g}{r^{3}}}{\frac {t^{2}}{2}}+{\frac {3gs}{r^{5}}}{\frac {t^{3}}{2.3}}+\left({\frac {3g}{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.5gs^{3}}{r^{7}}}+{\frac {g^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {t^{4}}{2.3.4}}\\&+\left(-{\frac {3.3.5g}{r^{7}}}{\frac {sds}{dt}}+{\frac {3.5.7gs^{3}}{r^{9}}}-{\frac {3.5g^{2}s}{r^{8}}}\right){\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots ,\\\mathrm {V} =&+t-{\frac {g}{r^{3}}}{\frac {t^{3}}{2.3}}+{\frac {2.3gs}{r^{5}}}{\frac {t^{4}}{2.3.4}}+\left({\frac {3.3g}{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.3.5gs^{2}}{r^{7}}}+{\frac {g^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23da0727ea362c4578d4481fe333ce0ec307e1f)
on aura ces expressions
![{\displaystyle x=\mathrm {xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad y=\mathrm {yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad z=\mathrm {zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18851e23cd9bcde62621b56fdabbf05fa4299238)