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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
À l’égard des constantes
et
que renferment ces expressions, il est bon de remarquer qu’elles se réduisent immédiatement aux constantes
et
d’où dépendent les éléments
de l’orbite elliptique, comme nous l’avons vu dans l’article 8. Car, en rapportant au commencement du temps
les deux équations en
de l’article précédent, on a
![{\displaystyle {\frac {(\mathrm {r} dr)^{2}}{dt^{2}}}-2\mathrm {gr=2Hr^{2}-D^{2}} ,\qquad {\frac {d(\mathrm {r} dr)}{dt^{2}}}-\mathrm {\frac {g}{r}} =2\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea690b3949be026d4198cafea04ca66efecd6aea)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {s^{2}=2gr+2Hr^{2}-D^{2}} ,\qquad {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {2H+{\frac {g}{r}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71db7f181ba3be0957be88512ae4263b5de48b44)
et substituant pour
et
leurs valeurs
et
(art. 15), on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {g} \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),\qquad \mathrm {s^{2}=g} \left(2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-b\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3595a59048bf4fd9156ea75936ab3563f1745d4)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}=\mathrm {{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{g}}} {\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\qquad b=2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-\mathrm {\frac {s^{2}}{g}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444306b9474d50941376e9ba9d273440fcef02ef)
On voit par là que les quantités
et
ne dépendent que de la figure de l’orbite, et nullement de la position de son plan.
29. Comme la quantité
ou
est déterminée par une équation différentielle semblable à celle qui détermine
on aura aussi pour cette quantité une expression semblable, en changeant seulement
et
en
et
On aura ainsi
![{\displaystyle s={\frac {rdr}{dt}}=\mathrm {sT} +{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db3fe0759a4a173fcd0130cfca91e5e52ac36ed)
De là, en intégrant et ajoutant la constante
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {r^{2}+2s\int T} dt+{\frac {2d\mathrm {s} }{dt}}\int \mathrm {V} dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56579b4c551f81c01db6531c45a4391604b2298)
où les intégrales doivent être prises de manière qu’elles soient nulles