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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
lorsque
On aura ainsi, en substituant les valeurs de
et
et ordonnant les termes par rapport aux puissances de
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}=\mathrm {r} ^{2}&+2\mathrm {s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-\mathrm {\frac {gs}{r^{3}}} {\frac {t^{3}}{3}}+\left(\mathrm {\frac {3gs^{2}}{r^{5}}} -\mathrm {\frac {g}{r^{3}}} {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\right){\frac {t^{4}}{3.4}}\\&+\left(\mathrm {\frac {9g}{r^{5}}} {\frac {\mathrm {s} d\mathrm {s} }{dt}}-\mathrm {\frac {15gs^{3}}{r^{7}}} +\mathrm {\frac {g^{2}s}{r^{6}}} \right){\frac {t^{5}}{3.4.5}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d969ebb228b98408961634daad0a883634050c5)
Cette expression de
doit être identique avec celle que donneraient les valeurs de
car, puisque
on aura aussi
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} \mathrm {T} ^{2}+2{\frac {\mathrm {x} d\mathrm {x} +\mathrm {y} d\mathrm {y} +\mathrm {z} d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {TV} +{\frac {d\mathrm {x} ^{2}+d\mathrm {y} ^{2}+d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}}\mathrm {V} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1d0f6893ada1fa9a0ff3298859a72379f1cd44)
Or
![{\displaystyle \mathrm {x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}} ,\quad {\frac {\mathrm {x} d\mathrm {x} +\mathrm {y} d\mathrm {y} +\mathrm {z} d\mathrm {z} }{dt}}={\frac {\mathrm {r} d\mathrm {r} }{dt}}=\mathrm {s} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c4c5eaa15f748e2dab384b5bb8c8cfadc6ea2c)
et
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {x} ^{2}+d\mathrm {y} ^{2}+d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {2H+{\frac {2g}{r}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22843d9efe6e9550e9402b06507b030d960b9d36)
(
art. 9)
![{\displaystyle ={\frac {d(rdr)}{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7afd295da6e80ee21123df2cec7afd64a4e9097)
(
art. 27)
![{\displaystyle ={\frac {d\mathrm {s} }{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8cdf73e4f0c1fb8f3724bde38b115c7a3c9575)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {r^{2}T^{2}+2sTV} +\left({\frac {d\mathrm {s} }{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}} \right)\mathrm {V} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562ea646c4fa107cdd964e72e79e3300c7ed4792)
valeur qui coïncide avec la précédente.
§ II. — Détermination des éléments du mouvement elliptigue
ou parabolique.
30. Dans la théorie des planètes, on nomme éléments les six quantités constantes qui servent à déterminer la figure de l’orbite, sa position par rapport à un plan fixe, qu’on prend pour celui de l’écliptique, et l’époque ou le moment du passage par l’aphélie ou par le périhélie.
Soient, comme dans le paragraphe précédent,
le demi grand axe ou la distance moyenne et
le demi-paramètre ; ces deux éléments déterminent la figure de l’orbite ; et si l’on nomme
l’excentricité, ou