Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/50

42

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Or on sait que l’expression $l\lambda +m\mu +n\nu$ est celle du cosinus de l’angle formé entre les deux rayons $\mathrm {R}$ et $\rho ,$ partant du centre commun de la Terre et dirigés, l’un à la comète, l’autre au Soleil ; de sorte que, si l’on désigne cet angle par $\sigma ,$ on aura

$r^{2}=\mathrm {R^{2}-2R} \rho \cos \sigma +\rho ^{2}.$

Si donc on a trois observations de la même comète, faites à des intervalles de temps connus, on aura trois systèmes pareils d’équations qui contiendront chacun une nouvelle inconnue $\mathrm {R} ,$ et les propriétés de la parabole^[1] donneront trois autres équations.

38. Ce qui se présente de plus simple pour cet objet est d’employer la formule donnée dans l’article 25, par laquelle on a le temps que la comète emploie à décrire un arc quelconque, exprimé par la corde de l’arc et par la somme des rayons vecteurs qui aboutissent à ses deux extrémités, et dégagée de tous les éléments de l’orbite ; car les trois intervalles de temps entre les trois observations, prises deux à deux, donneront les trois équations demandées.

Nous marquerons par un trait les lettres qui désignent les quantités analogues dans la seconde observation ; nous aurons ainsi

$r'^{2}=\mathrm {R'^{2}-2R'} \rho '\cos \sigma '+\rho '^{2}\qquad {\text{et}}\qquad s=r+r'.$

Pour la corde $u$ de l’arc parcouru par la comète, dans l’intervalle des deux observations, il est clair qu’on aura

$u^{2}=(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}=r'^{2}+r^{2}-2(xx'+yy'+zz').$

En substituant pour $x,y,z$ et pour $x',y',z'$ leurs valeurs, on aura

${\begin{aligned}xx'+yy'+zz'=&\mathrm {RR} '(ll'+mm'+nn')+\rho \rho '(\lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu ')\\&-\mathrm {R} \rho '(l\lambda '+m\mu '+n\nu ')-\mathrm {R'} \rho (l'\lambda +m'\mu +n'\nu ).\end{aligned}}$

Or, par les théorèmes connus, l’expression $ll'+mm'+nn'$ doit repré-

1. C’est-à-dire les propriétés du mouvement parabolique développées plus haut. (J. Bertrand.)