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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
que sous la forme linéaire, de sorte qu’il sera très facile de les éliminer et de réduire le problème à une seule équation en
C’est en quoi consiste le principal avantage de la méthode que nous proposons.
Si l’on voulait pousser l’approximation plus loin et avoir égard à un plus grand nombre de termes dans les valeurs de
on aurait des équations où les inconnues
et
ne seraient plus linéaires, mais monteraient successivement à des dimensions plus hautes, ce qui rendrait leur élimination plus difficile et l’équation finale encore plus compliquée.
43. Pour donner là-dessus un essai de calcul, nous nous contenterons d’avoir égard, dans les valeurs de
aux troisièmes dimensions de
et de
ce qui fera disparaître les termes affectés de l’inconnue
nous ferons, pour plus de simplicité,
en prenant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour l’unité des distances, et représentant les temps par les mouvements moyens du Soleil (art. 23) ; et, supposant
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} \ \ =&t-{\frac {t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}},\\\mathrm {V} '\ =&mt-{\frac {m^{3}t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}},\\\mathrm {V} ''=&(m-1)t-{\frac {(m-1)^{3}t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e803c99fdb1102b8a140f94772e000cdf63513bc)
Les valeurs de
deviendront ainsi de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} \ \ =&{\frac {6\mathrm {P} \mathrm {r} ^{3}-\mathrm {Q} t^{2}}{\left[6(m-1)\mathrm {r} ^{3}-(m-1)^{3}t^{2}\right]\mathrm {G} }}\\\mathrm {R} '\ =&-{\frac {6\mathrm {P} _{1}\mathrm {r} ^{3}-\mathrm {Q} _{1}t^{2}}{\left(6\mathrm {r} ^{3}-t^{2}\right)\mathrm {G} }},\\\mathrm {R} ''=&-{\frac {6\mathrm {P} _{2}\mathrm {r} ^{3}-\mathrm {Q} _{2}t^{2}}{\left(6\mathrm {r} ^{3}-t^{2}\right)\mathrm {G} }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32a0ea21971ea25a4b45994681cc79edf50ab2)
en supposant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&(m-1)\,\ \rho \Gamma -m\ \,\rho '\Gamma '+\rho ''\Gamma '',\\\mathrm {Q} =&(m-1)^{3}\rho \Gamma -m^{3}\rho '\Gamma '+\rho ''\Gamma '',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14be8f36a013fab6c6b8c3f3e1507d6b82302385)