49
SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
de l’orbite (art. 28, 29) ; de sorte qu’on pourra déterminer ces trois constantes.
42. En ne poussant l’approximation que jusqu’aux quatrièmes puissances de
on a
![{\displaystyle \mathrm {V} =t-\mathrm {g} {\frac {t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {t^{4}}{4\mathrm {r} ^{5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adc07ee6dc6f0a6aebe662a2045746b5ce1784e)
et de même,
![{\displaystyle \mathrm {V} '=t'-\mathrm {g} {\frac {t'^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {t'^{4}}{4\mathrm {r} ^{5}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe9ae1c02e7d933945d7bd6bd3c09f8dc2aeb3f)
et comme
on aura
![{\displaystyle \mathrm {V} ''=t'-t-\mathrm {g} {\frac {(t'-t)^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {(t'-t)^{3}(t+t')}{4\mathrm {r} ^{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97781d9785c07abdb14642854ff01639ae0a68ae)
En faisant ces substitutions dans les valeurs de
et supposant
le coefficient
étant donné par le rapport des deux intervalles entre les trois observations, il est clair que la quatrième dimension de
disparaîtra par la division, et qu’ainsi il suffira d’avoir égard à la troisième dans les valeurs de
et
Or on a, en général, aux
près,
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {r^{2}+2s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-{\frac {\mathrm {gs} }{3r^{3}}}t^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e9c1222ac7f544f18f0ca88256ad5150412034)
mais nous avons supposé que la première observation répond à
et que les deux suivantes répondent aux temps
et
ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}\ \ =&\mathrm {r} ^{2},\\r'^{2}\ =&\mathrm {r} ^{2}+2\mathrm {s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-\mathrm {\frac {gs}{3r^{3}}} t^{3},\\r''^{2}=&\mathrm {r} ^{2}+2m\mathrm {s} t+m^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-m^{3}\mathrm {\frac {gs}{3r^{3}}} t^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db966a0464cb355e3719fd7b0830dd771cb7b862)
On fera donc ces substitutions dans les trois dernières équations de l’article précédent, et, rejetant les termes qui contiendraient des puissances de
supérieures à la troisième, on aura trois équations entre les trois inconnues
et
dont les deux dernières n’y paraîtront