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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

où le demi-paramètre $b$ devient double de la distance périhélie de la comète.

47. Après avoir réduit le problème des comètes à des équations finales à une seule inconnue, il reste à examiner les quantités qui doivent être supposées connues ; ces quantités sont :

1^o Les trois rayons $\rho ,\rho ',\rho '',$ qui représentent les distances du Soleil à la Terre dans les trois observations, et qui doivent être calculés par les Tables du Soleil ;

2^o Les quantités $\mathrm {G} ,\,\Gamma ,\,\Gamma ',\,\Gamma '',\,\Gamma _{1},\,\Gamma '_{1},\,\Gamma ''_{1},\,\Gamma _{2},\,\Gamma '_{2},\,\Gamma ''_{2},$ d’où dépendent les valeurs de $\mathrm {P,\,Q,\,P_{1},\,Q_{1},\,P_{2},\,Q_{2}} ,$ (art. 41 et 43). Celles-ci doivent être déterminées par les trois observations de la comète et par le calcul des lieux du Soleil ; mais on peut les ramener à des expressions plus simples, qui en rendront la détermination beaucoup plus facile.

Commençons par la quantité $\mathrm {G} ,$ dont les autres ne sont que des dérivées on a (art. 41)

$\mathrm {G} =lm'n''+mn'l''+nl'm''+ln'm''+ml'n''+nm'l''\,;$

le carré de cette expression peut se mettre sous la forme

${\begin{aligned}\mathrm {G} ^{2}=&+\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)\left(l'^{2}+m'^{2}+n'^{2}\right)\left(l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}\right)\\&+2(ll'+mm'+nn')(ll''+mm''+nn'')(l'l''+m'm''+n'n'')\\&-\left(l^{2}\ \ +m^{2}\,\ +n^{2}\,\ \right)(l'l''+m'm''+n'n'')^{2}\\&-\left(l'^{2}\ +m'^{2}\ +n'^{2}\,\right)(ll''\ \,+mm''\ +nn''\ )^{2}\\&-\left(l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}\right)(ll'\ \ \,+mm'\ \ +nn'\ \ ),\end{aligned}}$

comme on peut s’en convaincre par le développement. Or, par la nature des quantités $l,\,m,\,n,\,l',\,m',\,n',\,l'',\,m'',\,n''$ (art. 37),

$l^{2}+m^{2}+n^{2}=1,\qquad l'^{2}+m'^{2}+n'^{2}=1,\qquad l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}=1.$

Donc, faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ \ =&ll'\ \ +mm'\ \ +nn'\ \ ,\\\mathrm {L} '\ =&ll''\ +mm''\ +nn'',\\\mathrm {L} ''=&l'l''+m'm''+n'n'',\end{aligned}}$