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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
62. Nous avons supposé, dans l’article 60, que les forces
pouvaient s’exprimer par les différences partielles d’une même fonction
relatives à
Cette hypothèse simplifie le calcul, mais n’est pas absolument nécessaire pour son exactitude, puisque les équations différentielles sont toujours indépendantes de la nature des forces accélératrices du mobile ; il s’agit seulement de savoir ce qu’on doit substituer à la place des différences partielles de
relatives aux constantes arbitraires
Or ces constantes n’entrent dans la fonction
que parce qu’elles entrent dans les expressions des variables
dont
est supposé fonction ; ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}={\frac {\partial \Omega }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b85a2e8f17dd45c09b6995712f68eed84908c2)
et, remettants
à la place de
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}=\mathrm {X} {\frac {\partial x}{\partial a}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial y}{\partial a}}+\mathrm {Z} {\frac {\partial z}{\partial a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb75238d1f78ed64a50a704f200bf612e5ba7aef)
quelles que soient les valeurs de
Il en sera de même à l’égard de
en changeant
en ![{\displaystyle b,\,c,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44ce06929e85c0e7f048c893f3c50c0e5b4082d)
En général, si l’on dénote par la caractéristique
les variations de
relatives aux constantes arbitraires
on aura
![{\displaystyle \delta \Omega =\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2efb92fb5a5859be9a9840cf61325670c0fff9f)
et si l’on suppose que les forces perturbatrices soient
tendantes à des centres dont les distances respectives soient
ce qui donne
![{\displaystyle -d\Omega =\mathrm {R} d\mathrm {r} +\mathrm {Q} d\mathrm {q} +\mathrm {P} d\mathrm {p} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f94f035c2523d65aa6fc147fbda12b527f68d0)
on aura aussi, relativement aux constantes arbitraires,
![{\displaystyle -\delta \Omega =\mathrm {R\delta r+Q\delta q+P\delta p} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6566cc7f1e2e2031ea8a5aaf6581c1dd8a4b7b9)
Je donne ici à
le signe
parce que les forces
sont supposées tendre à diminuer les distances
au lieu que les