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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
On voit que ces expressions de
coïncident avec celles que nous avons trouvées ci-dessus (art. 60), si ce n’est qu’à la place des lettres
il y a les lettres
qui représentent les valeurs de
lorsque
est égal à zéro, ou à une valeur quelconque, puisque le commencement du temps
est arbitraire ; ce qui revient au même, parce que, les coefficients
devant être indépendants de
les quantités
doivent être les mêmes fonctions de
que de
64. Comme les quantités
sont aussi des constantes arbitraires, on peut les prendre à la place des six constantes
Changeant donc
en
en
en
en
on aura
![{\displaystyle \mathrm {(x,x')=-1,\quad (y,y')=-1,\quad (z,z')} =-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9e00c81cfa8b359c6df482d93d607d950ae06f)
et tous les autres coefficients
deviendront nuls ; de sorte que les variations de
seront représentées par ces formules très simples
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {dx} \ =&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} '}}dt,\qquad &\mathrm {dy} \ =&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} '}}dt,\qquad &\mathrm {dz} \ =&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} '}}dt,\\\mathrm {dx} '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} }}dt,\qquad &\mathrm {dy} '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} }}dt,\qquad &\mathrm {dz} '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} }}dt,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9914e1749f06adb07ece24210b3ce303be15ed)
lesquelles résultent aussi de celles auxquelles nous sommes parvenus directement dans l’article 14 de la Section V ; ainsi il y aurait toujours de l’avantage à employer ces constantes à la place des autres constantes ![{\displaystyle a,\,b,\,c,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67af8af017275575a503145e081eced4955c310)
Mais, quelles que soient les constantes
elles ne peuvent être que des fonctions des constantes
donc, réciproquement, on peut regarder celles-ci comme fonctions de celles-là. On aura ainsi
![{\displaystyle {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}={\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} }}{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} }}{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} }}{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {x} '}}{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {y} '}}{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {z} '}}{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9dbeca2b2159b5536bfd1eb6cf2374bc2461ad4)
donc, substituant les valeurs de
du présent article, on