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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
On aurait encore les mêmes résultats en changeant
en
si l’on voulait conserver l’excentricité à la place du paramètre.
70. Considérons ensuite la formule
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial h}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial h}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial h}}-{\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial h}}-{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial h}}-{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467b26f18d61a7804188e4d3ee46de6240592a3c)
Comme la quantité
ne se trouve que dans les coefficients,
qui ne contiennentpoint
on a
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial h}}={\frac {\partial \alpha }{\partial h}}\mathrm {X} +{\frac {\partial \beta }{\partial h}}\mathrm {Y} ,\quad {\frac {\partial x'}{\partial h}}={\frac {\partial \alpha }{\partial h}}\mathrm {X} '+{\frac {\partial \beta }{\partial h}}\mathrm {Y} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e26c5128132417daf2841e4ca06fb55846555f)
et changeant
en
et en
on aura les valeurs de
À l’égard des différences partielles relatives à
elles seront les mêmes que dans l’article précédent.
En faisant ces substitutions, on remarquera qu’en vertu des mêmes équations de condition différentiées, on aura
![{\displaystyle \alpha d\alpha +\alpha _{1}d\alpha _{1}+\alpha _{2}d\alpha _{2}=0,\qquad \beta d\beta +\beta _{1}d\beta _{1}+\beta _{2}d\beta _{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47302ee389baa63a6b874bba43ea6d2d3bdee70)
![{\displaystyle \alpha d\beta +\alpha _{1}d\beta _{1}+\alpha _{2}d\beta _{2}=-\beta d\alpha -\beta _{1}d\alpha _{1}-\beta _{2}d\alpha _{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5957e9b45e2be2e6fcf6250fc4a5e57f4f2d7c)
de sorte qu’en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \beta d\beta +\beta _{1}d\beta _{1}+\beta _{2}d\beta _{2}=d\chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af31266170badc50b0cb53e5cb14101cb3c111d)
[j’emploie l’expression différentielle
[1], quoique la valeur de
ne soit pas une différentielle complète], la formule
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial h}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial h}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2308c5aee644b23ba2219aa29936301032f2efe1)
- ↑
Il n’y a dans la question qu’une variable indépendante qui est le temps. Toute expression différentielle peut donc être intégrée, et l’observationde Lagrange semble, par conséquent, inutile. J’ajouterai qu’elle est de nature à embarrasser le lecteur, qui doit voir plus loin (art. 73)) adopter cette lettre
comme l’une des constantes variables du problème. (J. Bertrand.)