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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

se réduira à la forme

$\left(\mathrm {X} '{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial a}}-\mathrm {Y} '{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial a}}\right){\frac {\partial \chi }{\partial h}},$

et la formule

${\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial h}}+{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial h}}+{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial h}}$

à cette forme semblable

$\left(\mathrm {X} {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial a}}-\mathrm {Y} {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial a}}\right){\frac {\partial \chi }{\partial h}}.$

Donc, en retranchant la seconde de ces quantités de la première, et observant que

$\mathrm {X} 'd\mathrm {Y} +\mathrm {Y} d\mathrm {X} '=d(\mathrm {X'Y} )\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {Y} 'd\mathrm {X} +\mathrm {X} d\mathrm {Y} '=d(\mathrm {XY'} ),$

on aura pour la transformée de la formule dont il s’agit, contenant les différences partielles relatives à $a$ et $h,$

${\frac {\partial (\mathrm {YX'-XY'} )}{\partial a}}{\frac {\partial \chi }{\partial h}},$

et il en sera de même en changeant $a$ en $b$ et $c,$ et $h$ en $i$ et $k.$

71. Il nous reste à considérer les formules où il n’y a que des différences partielles relatives à $h,\,i,\,k\,;$ de sorte que, comme ces quantités n’entrent que dans les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha _{1},\ldots ,$ il n’y aura aussi que ces coefficients qui deviendront variables.

Les différentielles de ces coefficients se réduisent à une forme très simple, en employant les coefficients analogues $\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma '',$ et en ayant égard aux équations de condition entre ces différents coefficients (art. 14)).

En effet, si l’on suppose

${\begin{aligned}\gamma d\alpha +\gamma _{1}d\alpha _{1}+\gamma _{2}d\alpha _{2}=&d\pi ,\\\gamma d\beta +\gamma _{1}d\beta _{1}+\gamma _{2}d\beta _{2}=&d\sigma ,\end{aligned}}$

les trois équations

${\begin{aligned}\alpha d\alpha +\alpha _{1}d\alpha _{1}+\alpha _{2}d\alpha _{2}=&0,\\\beta d\alpha +\beta _{1}d\alpha _{1}+\beta _{2}d\alpha _{2}=&d\chi ,\\\gamma d\alpha +\gamma _{1}d\alpha _{1}+\gamma _{2}d\alpha _{2}=&d\pi \end{aligned}}$