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plan $\mathrm {DCB} ,$ je les réduis à deux autres, l’une suivant la direction du rayon $\mathrm {PC}$ et l’autre suivant la tangente au point $\mathrm {P}$ et, nommant la première $\mathrm {R}$ et la seconde $\mathrm {Q} ,$ je trouve

$\mathrm {R} =-{\frac {\mathrm {L} {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+z{\cfrac {d^{2}z}{dt^{2}}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\qquad \mathrm {Q} ={\frac {\mathrm {L} z-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\cfrac {d^{2}z}{dt^{2}}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},$

de sorte que j’aurai les trois forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\,\ldots$ dont la première est perpendiculaire au plan du cercle, la seconde tangentielle au cercle et la troisième dirigée vers le centre même du cercle. Or, il est facile de voir qu’on aura

$z=r\cos \varphi ,\qquad y=r\sin \varphi \sin \psi ,\qquad x=r\sin \varphi \cos \psi \,;$

donc, substituant ces valeurs et faisant attention que $r,\,d\varphi$ et $d\psi$ sont constants, on trouvera

$\mathrm {P} =2r\cos \varphi {\frac {d\varphi }{dt}}{\frac {d\psi }{dt}},\quad \mathrm {Q} =-r\sin \varphi \cos \varphi {\frac {d\psi ^{2}}{dt^{2}}},\quad \mathrm {R} =r\left({\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\sin ^{2}\varphi {\frac {d\psi ^{2}}{dt^{2}}}\right),$

de sorte que la force perpendiculaire $\mathrm {P}$ sera à la force centripète $\mathrm {R}$ comme $2\cos \varphi {\frac {d\varphi }{dt}}{\frac {d\psi }{dt}}$ à ${\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\sin ^{2}\varphi {\frac {d\psi ^{2}}{dt^{2}}},$ et lorsque ${\frac {d\psi }{dt}}$ est très-petit vis-à-vis de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ comme $2\cos \varphi {\frac {d\psi }{dt}}$ à ${\frac {d\varphi }{dt}},$ ce qui s’accorde avec le théorème de Simpson.

Adieu, mon cher et illustre ami, il ne me reste de papier que pour vous embrasser et vous renouveler les assurances de mes sentiments les plus tendres et les plus respectueux.

P. S. — Vos deux Mémoires s’impriment dans le Volume de 1763, qui est actuellement sous presse et qui paraîtra à Pâques.

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