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DE LAGRANGE AVEC D’ALEMBERT

tandis que le plan du cercle tourne uniformément autour d’un de ses diamètres, on demande les forces nécessaires pour entretenir le mouvement de ce corps.

Soit le quart de cercle $\mathrm {CDA} ,$ lequel, en tournant autour du diamètre $\mathrm {DC} ,$ soitvenu dans la position $\mathrm {CDB} ,$ et soit $\mathrm {P}$ le corps qui se meut

quart de cercle tournant autour d’un axe vertical

sur la circonférence de cercle ; nommons $v$ le rayon $\mathrm {CD=CP} ,$ $\varphi$ l’angle $\mathrm {DCP}$ et $\psi$ l’angle $\mathrm {ACB} ,$ en sorte que ${\frac {d\varphi }{dt}}$ soit la vitesse angulaire du corps dans le cercle et ${\frac {d\psi }{dt}}$ la vitesse angulaire du cercle autour du diamètre de rotation $\mathrm {CD} ,$ et, comme ces deux vitesses sont constantes (hypothèse), on aura d’abord $d^{2}\varphi =0$ et $d^{2}\psi =0.$ Cela posé, qu’on abaisse du point $\mathrm {P}$ la perpendiculaire $\mathrm {PQ}$ sur $\mathrm {CB}$ et du point $\mathrm {Q}$ la perpendiculaire $\mathrm {QR}$ sur $\mathrm {AC} ,$ et, faisant $\mathrm {CR} =x,$ $\mathrm {RQ} =y,$ $\mathrm {QP} =z,$ on aura pour l’orbite du corps $\mathrm {P}$ les trois coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ de sorte qu’il faudra que le corps soit sollicité suivant les directions de ces coordonnées par trois forces représentées par ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$ Je change d’abord les deux forces ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ qui agissent parallèlement au plan $\mathrm {ACB} ,$ en deux autres, l’une parallèle et l’autre perpendiculaire à $\mathrm {CB} ,$ et, nommant $\mathrm {L}$ la première et $\mathrm {P}$ la seconde, je trouve

$\mathrm {L} ={\frac {x\,d^{2}x+y\,d^{2}y}{dt^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}},\qquad \mathrm {P} ={\frac {x\,d^{2}y-y\,d^{2}x}{dt^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\,;$

ensuite, combinant la force $\mathrm {L}$ et la force ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$ qui agissent dans le