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DE LAGRANGE AVEC D’ALEMBERT

moi) dans notre Volume de 1762^[1], qui vient de paraître. Elles sont un peu impertinentes, mais il vous donne beau jeu et à moi aussi, et j’espère bien, pour ma part, lui en dire deux mots quelque jour.

Il me semble que l’équation

$d\mathrm {P} =(-dz-d\varepsilon )\sin \pi -d\theta$

ne résulte point de votre théorie ; j’y trouve bien l’équation

$\operatorname {tang} (\omega +\theta )=\cos \pi (\operatorname {tang} \nu -s)$

à laquelle vous parvenez dans votre excellente pièce et qui résulte aussi de mes formules ; mais l’équation

$d\mathrm {P} =(-dz-d\varepsilon )\sin \pi -d\theta$

ne résulte pas de celle-là, et il me semble qu’il est nécessaire que $\sin \psi$ ne se trouve point dans cette équation pour que la Lune nous tourne toujours à peu près la même face ; car, quand même $\sin \pi$ différerait peu de l’unité, $\mathrm {P}$ serait fort différent de $-z-\varepsilon$ au bout d’un grand nombre de révolutions.

J’ai donné, dans la première édition de mon Traité de Dynamique^[2], une méthode pour intégrer l’équation

$d\,dy+\mathrm {M} y\,dz^{2}+\mathrm {P} dz^{2}=0,$

qui me fournit un moyen très-simple d’intégrer l’équation

$\mathrm {P} y+\mathrm {Q} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {R} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\ldots =\mathrm {X}$

lorsqu’on a $m-1$ valeurs de $y$ en $x$ dans le cas de $\mathrm {X} =0.$ Soit $y=vz,$ $z$ étant une de ces valeurs et $v$ une indéterminée variable ; j’aurai

$\mathrm {P} z+\mathrm {Q} {\frac {dz}{dx}}+\mathrm {R} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+\ldots =0,$

et, substituant, il me viendra une équation du degré $m$ qui n’aura

1. Voir le Mémoire de Bernoulli intitulé : Recherches physiques, mécaniques et analytiques sur le son et sur le ton des tuyaux d’orgues différemment construits, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1762. Les notes auxquelles d’Alembert fait allusion se trouvent aux pages 432, 437 et 441.
2. La première édition de ce Traité est de 1743. Il a été réimprimé en 1758 et 1796.