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22.

LAGRANGE À D’ALEMBERT.

À Turin, ce 15 janvier 1766.

Mon cher et illustre ami, je viens de recevoir le Mémoire que vous avez eu la bonté de composer pour le troisième Volume de nos Mélanges, et je me hâte de vous en témoigner ma reconnaissance. Vous ne devez pas craindre qu’il soit arrivé trop tard, car l’Ouvrage n’est encore qu’à moitié imprimé, et je doute qu’il soit en état de paraître avant le mois d’avril. À l’égard de votre écriture, je vous assure que je la trouve très-lisible, et vous devez être persuadé que j’apporterai tous mes soins à ce que cette pièce soit imprimée le plus correctement et le plus nettement qu’il sera possible. Je l’ai lue avec la plus grande satisfaction tout ce qui vient de vous m’est toujours infiniment précieux, et je ne manque jamais d’en faire mon profit. Je conviens que votre manière de réduire en une série de termes tout réels la quantité $\varphi \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(x-y{\sqrt {-1}}\right)$ est préférable à la mienne, en ce qu’elle donne une suite finie lorsque $\varphi (x)$ est $=\mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{n}+\ldots \,;$ j’ai même fait à cette occasion une remarque assez curieuse c’est que les coefficients $\mathrm {A,\,B,\,C} ,\,\ldots$ de la formule

$\varphi (x+my)-m\varphi \left[x+(m-1)y)\right]+{\frac {m(m-1)}{2}}\varphi \left[x+(m-2)y)\right]-\ldots$

$=\mathrm {A} y^{m}{\frac {d^{m}\varphi (x)}{dx^{m}}}+\mathrm {B} y^{m+1}{\frac {d^{m+1}\varphi (x)}{dx^{m+1}}}+\mathrm {C} y^{m+2}{\frac {d^{m+2}\varphi (x)}{dx^{m+2}}}+\ldots$

${\Bigg (}{\Bigg .}$vous avez écrit par inadvertance $d^{m}\varphi (x),\,d^{m+1}\varphi (x)$ au lieu de $\left.{\frac {d^{m}\varphi (x)}{dx^{m}}},{\frac {d^{m+1}\varphi (x)}{dx^{m+1}}},\ldots \right)$ sont les mêmes que ceux de la formule

$\left(x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{2.3}}+\ldots \right)=\mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{m+1}+\mathrm {C} x^{m+2}+\ldots ,$