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DE LAGRANGE AVEC D’ALEMBERT

de sorte qu’on aura, comme l’on sait, en mettant $\alpha$ au lieu de ${\frac {1}{2}},$ $\beta$ au lieu de ${\frac {1}{2.3}},\ldots ,$ et faisant $m=n-1,$

$\mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} ={\frac {n-1}{1}}\alpha ,\quad \mathrm {C} ={\frac {n-2}{2}}\alpha \mathrm {B} +{\frac {2n-2}{2}}\beta ,$

$\mathrm {D} ={\frac {n-3}{3}}\alpha \mathrm {C} +{\frac {2n-3}{3}}\beta \mathrm {B} +{\frac {3n-3}{3}}\gamma ,$

et ainsi de suite.

J’ai trouvé, de plus, que les coefficients de cette formule

${\begin{aligned}y^{m}{\frac {d^{m}\varphi (x)}{dx^{m}}}&=\mathrm {P} {\bigg \{}\varphi (x+my)-m\varphi \left[x+(m-1)y\right]{\bigg .}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {m(m-1)}{2}}\varphi \left[x+(m-2)y\right]+\ldots \right\}\\&+\mathrm {Q} {\bigg \{}\varphi \left[x+(m+1)y\right]-(m+1)\varphi (x+my){\bigg .}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {(m+1)m}{2}}\varphi \left[x+(m-1)y\right]+\ldots \right\}\\&+\mathrm {R} \left\{\varphi \left[x+(m+2)y\right]-(m+2)\varphi \left[x+(m+1)y\right]+\ldots \right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

sont les mêmes que ceux de la formule

$\left(x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\ldots \right)^{m}=\mathrm {P} x^{m}+\mathrm {Q} x^{m+1}+\mathrm {R} x^{m+2}+\ldots .$

Si l’on fait $m$ négatif, ces formules auront lieu également, et l’on aura

${\frac {d^{-m}\varphi (x)}{dx^{-m}}}=\int ^{m}\varphi (x)dx^{m}.$

Je suis charmé de vous savoir presque entièrement remis de votre dernière maladie et qu’on vous ait enfin rendu la justice qui vous est due^[1]. On n’a encore rien fait pour moi jusqu’ici, et je crois même qu’on n’y pense plus ; je sais seulement qu’un de nos ministres a dit à quelqu’un qui s’intéressait pour moi qu’il me connaissait à peine et qu’il ne me voyait jamais, mais je ne me sens pas le courage de sacrifier mon temps et ma tranquillité à l’espérance d’une misérable pension. Adieu, mon cher et illustre ami ; je compte que vous aurez reçu

1. Au sujet de la pension dont il a été parlé plus haut, p. 38. — Cf p. 48.