Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/161

sæ $=a,$ hanc alteram æquationem

${\frac {dy}{ds{\sqrt {u}}}}\delta y={\frac {ds}{\sqrt {u}}}$

seu

$dy\,\delta y=ds^{2}\,;$

seu, quia hoc loco

$dy=rt,\qquad \delta y=rn,\qquad {\text{et}}\qquad ds=r\mathrm {N} ,\qquad rt\times rn={\overline {r\mathrm {N} }}^{2}\,;$

unde conficitur angulum intersectionis $r\mathrm {N} n$ esse debere rectum ; cæterum levi attentione perspicitur nisi sit $\delta u=v\,\delta y$ (quod quidem evenit nisi sit $u$ functio determinata ipsorum $x$ et $y$) hanc proprietatem locum amplius habere non posse ; unde sub hac limitatione intelligi debere videtur prop. tua 44 tomi 2^di ægregn mechanices operis. Hæc porro methodus, quomodo et ad alios magis compositos casus possit nullo negotio accommodari, tibi cette supervacaneum foret ostendere ; sufficiat hæc ita leviter attigisse.

Transibo igitur ad aliud, quod in illa analysi observavi et super quo judicium tuum doctissimum præcipue exopto ; nempe quoniam ex natura maximorum, et minimorum, ut rectissime in epistola tua ais esse tantum debet $\delta \int z=0$ (pono pro formula integrali indefinita, $\int z$ tantum, loco quod tu posuisti $\int z\,dx\,;$ quia enim mihi non opus sunt substitutiones tuæ $p\,dx$ pro $dy\ldots \,;$ inutile foret velle omnes formulas ad hanc $\int z\,dx$ reducere, quod aliquando nisi illarum substitutionum ope non efficitur) evidens est, si plures formæ valori ipsius $\delta \int 0$ conciliari possint plures etiam haberi posse diversas æquationes, quas tamen omnes datis sub conditionibus satisfacere necesse sit. Jam vero $\delta \int z$ exprimitur per

$\int \left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -\ldots \right)\delta y+\left(\mathrm {P} -d\mathrm {Q} +\ldots \right)\delta y+\left(\mathrm {Q} -\ldots \right)d\,\delta y+\ldots \,;$

sed posito, brevitatis gratia, $\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -\ldots =\mathrm {L} ,$ est

$\int \mathrm {L} \delta y=\mathrm {L} \int \delta y-\int d\mathrm {L} \int \delta y=\mathrm {L} \int \delta y-d\mathrm {L} \int ^{2}\delta y+\int d^{2}\mathrm {L} \int ^{2}\delta y,$