Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/162

et sic in infinitum, unde habetur $\delta \int z=$

1^o

$\int \mathrm {L} \delta y+(\mathrm {P} -d\mathrm {Q} +\ldots )\delta y+(\mathrm {Q} -\ldots )d\,\delta y\,;$

2^o

$\int d\mathrm {L} \int \delta y+\mathrm {L} \int \delta y+(\mathrm {P} -d\mathrm {Q} +\ldots )\delta y+\ldots \,;$

3^o

$\int d^{2}\mathrm {L} \int ^{2}\delta y-d\mathrm {L} \int ^{2}\delta y+\mathrm {L} \int \delta y+(\mathrm {P} -d\mathrm {Q} +\ldots )\delta y+\ldots \,;$

et sic ulterius procedendo. Unde, si ponatur, in loco ubi $x=a,$ evanescere $\delta y,\,d\,\delta y,\ldots ,$ fiet, ex 1^o valore, $\delta \int z=\int \mathrm {L} \delta y,$ ex quo æquatio pro curva oritur $\mathrm {L} =0,$ quæ ideo eam præbet curvam, ut notum est, quæ maximorum minimorumque proprietate gaudeat inter omnes, quo pro puncto abscissæ $=a$ tum datam habéant applicatam tum etiam datam tangentis ad axem inclinationem, etc. ; si vero etiam præterea totum $\int \delta y$ ponatur hoc $\omega =0,$ tam ex 2^o valore haberetur :

$\delta \int z=-\int d\mathrm {L} \int \delta y$

ex quo pro curva quæsita sit $d\mathrm {L} =0,$ quæ adeo maximorum, minimorumque data proprietate gauderet inter omnes, quæ præter supradictas conditiones habebunt etiam hanc ut summa omnium incrementorum $\delta y$ sit $=0\,;$ simili modo reperiretur ex 3^o valore, ponendo etiam $\int ^{2}\delta y=0\,;$ hæc æquatio $d^{2}\mathrm {L} =0$ pro curva in qua adesset præterea conditio ista ut tota summa 2^di gradus ipsorum $\delta y$ fieret evanescens ; et sic de cæteris.

Jam vero quum posito $\int \delta y=0$ necessario curva differentiationis secare debeat priorem in aliquo puncto intermedio, et posito præter $\int \delta y=0,$ etiam $\int ^{2}\delta y=0,$ tum duo existere debeant intersectionis puncta, concludi mihi posse videtur æquationes has

$d\mathrm {L} =0,\qquad d^{2}\mathrm {L} =0,\qquad \ldots ,$

locum habere debere, in quadam curva, quæ data proprietate sit prædita, ubi præter extrema, etiam aliqua data sunt intermedia puncta, per quæ ipsa transire debeat ; nempe si habeatur unum, tum satisfaciet $d\mathrm {L} =0,$ si duo, $d^{2}\mathrm {L} =0,\ \ldots .$