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composée de ces prismes

$ymnz\mu \nu +ylnz\lambda \nu +lmn\lambda \mu \nu -ylmz\lambda \mu ,$

et, prenant la solidité de chaque part, on trouvera cette solidité

$\left.{\begin{alignedat}{4}&+{\frac {1}{3}}(yz&&+l\lambda &&+n\nu &&)\Delta yln\\&+{\frac {1}{3}}(yz&&+m\mu &&+n\nu &&)\Delta ymn\\&+{\frac {1}{3}}(l\lambda &&+m\mu &&+n\nu &&)\Delta lmn\\&-{\frac {1}{3}}(yz&&+l\lambda &&+m\mu &&)\Delta ylm\end{alignedat}}\right\}=\left\{{\begin{alignedat}{4}&+{\frac {1}{3}}(3z&&+\mathrm {S} \alpha &&+\quad \mathrm {V} \gamma &&)\Delta yln\\&+{\frac {1}{3}}(3z&&+\mathrm {T} \beta &&+\quad \mathrm {V} \gamma &&)\Delta ymn\\&+{\frac {1}{3}}(3z&&+\mathrm {T} \alpha &&+\mathrm {T} \beta +\mathrm {V} \gamma &&)\Delta lmn\\&-{\frac {1}{3}}(3z&&+\mathrm {S} \alpha &&+\quad \mathrm {T} \beta &&)\Delta lm\end{alignedat}}\right\}$

$=\left\{{\begin{aligned}&-{\frac {1}{3}}\mathrm {S} \alpha \Delta ymn,\\&-{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \beta \Delta yln,\\&+{\frac {1}{3}}\mathrm {V} \gamma \Delta ylm.\end{aligned}}\right.$

Ensuite, on trouve les aires de ces triangles, à cause de $x\mathrm {L=L} \alpha ,\ x\mathrm {M=M} \beta ,\ x\mathrm {N=N} \gamma ,$ comme il suit :

${\begin{aligned}\Delta ymn=&{\frac {1}{2}}x\mathrm {M} (2y+\mathrm {Q} \beta )+{\frac {1}{2}}\mathrm {MN} (2y+\mathrm {Q} \beta +\mathrm {R} \gamma )-{\frac {1}{2}}x\mathrm {N} (2y+\mathrm {R} \gamma )\\=&{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} \beta \times x\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {R} \gamma \times x\mathrm {M} ={\frac {1}{2}}\beta \gamma \mathrm {\left(NQ-MR\right)} ,\\\Delta yln\ \ =&{\frac {1}{2}}x\mathrm {N} \,(2y+\mathrm {R} \gamma )+{\frac {1}{2}}\mathrm {LN} \ (2y+\mathrm {P} \alpha +\mathrm {R} \gamma )-{\frac {1}{2}}x\mathrm {L} (2y+\mathrm {P} \alpha )\\=&{\frac {1}{2}}\mathrm {R} \gamma \,\times x\mathrm {L} -{\frac {1}{2}}\mathrm {P} \alpha \times x\mathrm {N} \,={\frac {1}{2}}\alpha \gamma \mathrm {\left(LR-NP\right)} ,\\\Delta ylm\,=&{\frac {1}{2}}x\mathrm {M} (2y+\mathrm {Q} \beta )+{\frac {1}{2}}\mathrm {LM} \,(2y+\mathrm {P} \alpha +\mathrm {Q} \beta )-{\frac {1}{2}}x\mathrm {L} (2y+\mathrm {P} \alpha )\\=&{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} \beta \times x\mathrm {L} \ -{\frac {1}{2}}\mathrm {P} \alpha \times x\mathrm {M} ={\frac {1}{2}}\alpha \beta \mathrm {\left(LQ-MP\right)} .\end{aligned}}$

De là, nous tirons la solidité de notre pyramide $z\lambda \mu \nu$ dans l’état d’agitation

$-{\frac {1}{6}}\alpha \beta \gamma \mathrm {S(NQ-MR)-{\frac {1}{6}}\alpha \beta \gamma T(LR-NP)+{\frac {1}{6}}\alpha \beta \gamma V(LQ-MP)} ,$

et, partant, la densité du milieu agité en $z$ sera

$1:\mathrm {\left(LQV-MPV+MRS-NQS+NPT-LRT\right)} ,$

et, posant $\Pi$ pour la hauteur de la colonne qui y balance l'élasticité, nous aurons

$\Pi =h:\mathrm {\left(LQV-MPV+MRS-NQS+NPT-LRT\right)} ,$

laquelle étant une fonction des trois variables $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ posons

$d\Pi =\mathrm {E} d\mathrm {X} +\mathrm {F} d\mathrm {Y} +\mathrm {G} d\mathrm {Z} ,$

de sorte que

$\mathrm {E={\frac {\partial \Pi }{\partial X}},\qquad F={\frac {\partial \Pi }{\partial Y}},\qquad G={\frac {\partial \Pi }{\partial Z}}} .$

Soit, pour abréger,

$\mathrm {LQV-MPV+MRS-NQS+NPT-LRT=K} ,$